数论GCD证明求助：已知b∣c，证gcd(a,b)=gcd(a+c,b)（已证e∣d，需证d∣e）

嘿，你已经完成了一半的证明，太棒了！我来帮你补上$d\mid e$的关键推导，其实核心就是用整除的传递性和线性性质，咱们一步步来：

首先回顾已知条件和定义：

• 设$d = \gcd(a,b)$，根据最大公约数的定义，必然有：
  • $d \mid a$（$d$整除$a$）
  • $d \mid b$（$d$整除$b$）
• 题目给出$b \mid c$，结合上面的$d \mid b$，根据整除的传递性（若$x\mid y$且$y\mid z$，则$x\mid z$），可以直接得出：
  • $d \mid c$
• 接下来用整除的线性性质（若$x\mid m$且$x\mid n$，则$x\mid m+n$），因为$d\mid a$且$d\mid c$，所以：
  • $d \mid (a + c)$
• 现在看$e = \gcd(a+c,b)$，根据最大公约数的定义，$e$是能同时整除$(a+c)$和$b$的最大正整数，而我们已经证明$d$同时满足：
  • $d \mid (a+c)$
  • $d \mid b$
• 这就意味着$d$是$(a+c)$和$b$的一个公约数，而最大公约数的核心性质是：所有公约数都能整除最大公约数，因此必然有$d \mid e$。

这样一来，你已经证明了$e\mid d$，现在又补上了$d\mid e$，根据整除的对称性（若$x\mid y$且$y\mid x$，则$x=y$），就可以得出$d=e$，也就是$\gcd(a,b)=\gcd(a+c,b)$啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rose