如何优雅求解源于微扰展开的递推常微分方程组？

嘿，咱们来拆解这组从微扰展开里得到的递推常微分方程：
$$
\ddot y_0 + y_0 = 0, \
\ddot y_n + y_n = - \dot y_{n-1}, n \ge 1
$$

零阶解的快速求解 #

第一个零阶方程$\ddot y_0 + y_0 = 0$，用试探解y = e^{rt}代入就能轻松搞定：
把y = e^{rt}代入方程，得到特征方程$r^2 + 1 = 0$，解出$r = \pm i$，所以零阶解就是$y_0 = A e^{it} + c.c.$（这里的c.c.表示复共轭项，保证解是实数）。

高阶解的常规方法痛点 #

理论上，对于$n \ge 1$的高阶方程，我们可以利用和零阶方程一样的齐次方程结构，用常数变易法来求特解。但说实话，这个方法的计算过程真的是过于繁琐了——每一步都要处理积分、变易常数，算到后面很容易出错，效率极低。

参考论文里的简便技巧 #

不过我之前看过相关论文里提到的更高效的方法，核心思路是利用零阶解的形式，直接构造高阶解的形式，避免常数变易法里的复杂积分操作。比如可以假设$y_n$的形式是$(B_n t + C_n)e^{it} + c.c.$，代入递推方程后直接求解系数$B_n$和$C_n$，这样每一步的计算量会小很多，而且递推关系会更清晰。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Al_