关于方程φ(2+φ(x))=2^{y-1}的整数解刻画问题

目前我还没检索到已有文献对下面这个欧拉函数方程的整数解给出完整刻画：
$$\varphi(2+\varphi(x))=2^{y-1},\tag{1}$$
这里的$\varphi(n)$是欧拉函数，要求整数解满足$x\geq1$且$y\geq2$。这个方程是我自己构造的，初衷是想把它和可构造多边形、梅森素数这类特殊数建立关联。下面我把目前得到的基本结论整理出来：

命题1：梅森素数对应的解 #

• 每个梅森素数（即形如$2^k - 1$的素数，其中$k$为素数），都能对应方程(1)的一组整数解$(x,y)$。具体来说，若$p=2^k -1$是梅森素数，那么取$\varphi(x)=p-1=2^k -2$，此时$2+\varphi(x)=2^{k$，而欧拉函数$\varphi(2}k)=2^{{k-1}$，正好匹配方程右侧的$2}{y-1}$，即$y=k$。满足$\varphi(x)=2^k -2$的$x$可以通过欧拉函数的逆映射来构造，比如$x$可以是特定素数幂的乘积形式。

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