换元法求解∫x·√(x-1)dx出错，求错误原因分析

先看一下你的求解过程：

令$u = \sqrt{x-1}$，则推导得：
$$ u^2 = x - 1 \Rightarrow x = u^2 + 1$$
$$ \Rightarrow \mathrm{d}x = 2u \cdot \mathrm{d}u $$
代入积分得：
$$\int x \cdot \sqrt{x-1} \cdot \mathrm{d}x = \int (u^2 + 1) \cdot u \cdot 2u \cdot \mathrm{d}u = 2 \cdot \int (u^4 + u^2) \mathrm{d}u$$
$$ = 2 \cdot (\frac{1}{5} u^5 + \frac{1}{2} u^2) + c = \frac{2}{5} u^5 + u^2 + c$$
$$ = \frac{2}{5} (\sqrt{x-1})^5 + x + c$$

这里有两个关键错误：

1. 积分计算错误：
   对$\int u^2 du$的结果你算错了！幂函数积分公式是$\int u^n du = \frac{1}{n+1}u^{n+1} + c$（$n \neq -1$），所以$\int u^2 du = \frac{1}{3}u^3 + c$，而不是$\frac{1}{2}u^2 + c$。这一步直接导致后续结果偏差。

2. 代换还原错误：
   你最后把$u^{2$替换成了$x$，但根据换元时的设定$u}2 = x - 1$，所以$u^2$应该替换成$x-1$，而不是$x$。

正确的推导步骤应该是： #

$$2 \cdot \int (u^4 + u^2) \mathrm{d}u = 2 \cdot (\frac{1}{5} u^5 + \frac{1}{3} u^3) + c = \frac{2}{5}u^5 + \frac{2}{3}u^3 + c$$
再把$u = \sqrt{x-1}$代回去：
$$= \frac{2}{5}(x-1)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}} + c$$

你可以对这个结果求导验证一下，就能得到原被积函数$x·\sqrt{x-1}$啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ClassicEndingMusic