非零实数构二次方程的最大获胜概率求解：代数概率谜题

嘿，这个问题其实是个很有意思的博弈概率题，得从谢尔顿和伦纳德的“对手关系”入手分析——毕竟伦纳德肯定会选对自己最有利的排列方式，不会让谢尔顿轻易赢的！

首先得明确核心规则：谢尔顿选三个非零实数，伦纳德会选择对自己最有利的排列方式（他俩是对手嘛），只有当伦纳德无论怎么排，得到的方程都有两个不同有理根时，谢尔顿才能赢；否则伦纳德会直接选那个让谢尔顿输的排列。

先回忆二次方程ax²+bx+c=0有两个不同有理根的充要条件：

• 判别式Δ = b² - 4ac > 0（保证有两个不同实根）
• Δ是有理数的平方（保证根是有理数）
• 系数的比值为有理数（由韦达定理，有理根的和与积都是有理数，因此b/a和c/a必须是有理数）

接下来分情况讨论谢尔顿的选择：

情况1：谢尔顿选的三个数同号（全正或全负） #

假设三个数全为正（全负同理），把它们按大小排序为0 < a ≤ b ≤ c。伦纳德只要选择排列(c, a, b)，也就是把最大的数作为二次项系数，最小的数作为一次项系数，中间的数作为常数项，得到方程cx² + ax + b = 0。

此时判别式Δ = a² - 4cb，因为c ≥ b ≥ a > 0，所以cb ≥ b*b = b² ≥ a²，4cb ≥ 4a² > a²，因此Δ = a² - 4cb < 0——方程没有实根，更别说有理根了。伦纳德选这个排列，直接赢，谢尔顿输。

情况2：谢尔顿选的三个数异号（两正一负或两负一正） #

比如两正一负：设正数为p, q > 0，负数为-r < 0（r > 0）。

• 伦纳德可以先尝试排列px² + qx - r = 0，判别式Δ = q² + 4pr肯定是正数，但如果Δ不是有理数的平方，谢尔顿直接输；
• 如果谢尔顿选的数刚好让Δ是平方数，伦纳德还能选另一种排列：px² - rx + q = 0，此时判别式Δ' = r² - 4pq。如果r² < 4pq，Δ' < 0，方程无实根；如果r² > 4pq，Δ'也不一定是有理数的平方——总之伦纳德总能找到一个不满足条件的排列。

结论 #

不管谢尔顿选哪三个非零实数，伦纳德都能找到至少一种排列方式，让方程要么没有实根，要么有实根但不是有理根。因此，谢尔顿获胜的最大概率是0。

哦对了，你之前试的{1,2,3}、{3,4,5}这类三元组，伦纳德只要把最大的数当二次项系数，最小的当一次项系数，中间的当常数项，得到的方程判别式都是负数，直接无实根，谢尔顿根本赢不了~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者stoic-santiago