如何证明由n个5组成的数等于$rac{5}{9} (10^n -1)$？

没问题，我来帮你一步步搞定这个数学归纳法证明，首先咱们先把n个5组成的数用数学式子写清楚，这是关键第一步～

n个5连写的数，本质是一个等比数列的和：

• 当n=1时，就是5 = 5×10⁰
• 当n=2时，55 = 5×10¹ + 5×10⁰
• 当n=3时，555 = 5×10² + 5×10¹ + 5×10⁰
  ...
  所以一般地，n个5组成的数可以写成：
  S(n) = 5×10⁰ + 5×10¹ + 5×10² + ... + 5×10^{n-1}
  这是首项为5、公比为10的等比数列前n项和，不过咱们不用直接套等比求和公式，而是用数学归纳法来严谨证明它等于5/9(10ⁿ -1)。

我们要证明的命题是：对于所有正整数n，S(n) = 5/9(10ⁿ -1)，其中S(n)是n个5组成的数。

基例验证（n=1） #

当n=1时，左侧S(1)=5，右侧5/9(10¹ -1)=5/9×9=5，左右完全相等，命题成立。

归纳假设（假设n=k时命题成立） #

假设当n=k（k≥1，k是正整数）时，命题成立，也就是：
S(k) = 55...5（k个5）= 5/9(10ᵏ -1)

归纳递推（证明n=k+1时命题成立） #

接下来要证明n=k+1时，S(k+1)=5/9(10^{k+1}-1)。

首先，k+1个5组成的数，其实就是k个5组成的数后面添一个5，换个数学表达就是：
S(k+1) = S(k)×10 + 5
（比如k=2时，S(2)=55，S(3)=55×10+5=555，完全符合这个规律对吧？）

现在把归纳假设代入这个式子：
S(k+1) = [5/9(10ᵏ -1)]×10 + 5
咱们一步步展开计算：
= 5×10^{k+1}/9 - 5×10/9 + 5
= 5×10^{k+1}/9 - 50/9 + 45/9
= 5×10^{k+1}/9 - 5/9
= 5/9(10^{k+1} -1)

这正好等于我们要证明的右侧，所以当n=k+1时命题也成立。

结论 #

根据数学归纳法的原理，对于所有正整数n，n个5组成的数都等于5/9(10ⁿ -1)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者WantToKnowMath