在R²中，不含原点的直线添加原点后能否构成线性子空间？

好问题！咱们一步步拆解这个问题，先从线性子空间的核心定义入手，再结合你说的场景具体验证。

首先要明确：一个集合要成为$\mathbb{R}^2$的线性子空间，必须同时满足三个硬性条件：

1. 包含原点（你已经手动补上了，这一条是满足的）
2. 对向量加法封闭：集合中任意两个向量相加，结果仍属于这个集合
3. 对标量乘法封闭：集合中任意向量乘以任意实数，结果仍属于这个集合

咱们拿具体例子来验证：假设那条不过原点的直线方程是 y = mx + b（其中b ≠ 0），记添加原点后的集合为S，那么S包含所有满足y = mx + b的点，再加上(0,0)。

验证加法封闭性 #

取S中两个来自原直线的点：p₁ = (x₁, mx₁ + b)，p₂ = (x₂, mx₂ + b)（这两个点肯定不是原点，因为代入(0,0)会得到0 = b，和b≠0的前提矛盾）。
计算它们的和：
p₁ + p₂ = (x₁+x₂, m(x₁+x₂) + 2b)
现在看这个点是否在S里：

• 如果它在原直线上，需要满足m(x₁+x₂) + 2b = m(x₁+x₂) + b，也就是2b = b → b=0，这和我们的前提矛盾；
• 如果它是原点，需要x₁+x₂=0且m(x₁+x₂)+2b=0，也就是2b=0，同样不成立。
  所以p₁+p₂不在S里，加法封闭性不满足。

验证数乘封闭性 #

再取原直线上的点p = (x, mx + b)，乘以实数k=2（随便选一个非1、非0的数就行），得到：
2p = (2x, 2mx + 2b)
同样判断是否在S里：

• 若在原直线上，需要2mx + 2b = m*(2x) + b → 2b = b → b=0，矛盾；
• 若为原点，需要2x=0且2mx+2b=0 → x=0且2b=0，还是不成立。
  所以2p不在S里，数乘封闭性也不满足。

结论 #

虽然你给集合补上了原点，但它不满足线性子空间要求的加法和数乘封闭性，所以这个集合不能被认定为线性子空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bilanush