条件期望的方差：统计量S_XY的方差分解相关疑问

首先，咱们明确核心结论：是的，必然有$E\Big(V(S_{XY}|X)\Big) \geq E\Big(V(S_{XY}|Y)\Big)$，原因来自方差最基本的性质——任何随机变量的方差都非负。

推导过程拆解 #

1. 已知前提：当$E(S_{XY}|X)=0$时，$V\Big(E(S_{XY}|X)\Big)=0$，代入方差分解式后得到：
   $$V\Big(E(S_{XY}|Y)\Big) = E\Big(V(S_{XY}|X)\Big) - E\Big(V(S_{XY}|Y)\Big)$$
2. 关键性质：$V\Big(E(S_{XY}|Y)\Big)$是随机变量$E(S_{XY}|Y)$的方差，根据方差的定义，对于任意随机变量$Z$，都有$V(Z) \geq 0$——毕竟方差是平方的期望，不可能出现负数结果。
3. 结论推导：既然等式左边的方差必须非负，那么等式右边的结果也必须满足非负性，即：
   $$E\Big(V(S_{XY}|X)\Big) - E\Big(V(S_{XY}|Y)\Big) \geq 0$$
   移项后直接得到$E\Big(V(S_{XY}|X)\Big) \geq E\Big(V(S_{XY}|Y)\Big)$。

补充说明 #

这个结论其实是全方差定律（Law of Total Variance）的自然推论：总方差可以拆分为「条件期望的方差」加上「条件方差的期望」，当其中一组条件期望的方差为0时，另一组条件期望的方差就等于两组条件方差期望的差值，而方差的非负性直接约束了这个差值必须是非负的，从而保证等式两边的合理性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ari.stat