含分支点的留数积分求助：无穷积分计算疑问

首先，先回应你用留数法处理$\pm \frac{1}{2}i$极点的疑问：

你选择的是带分支割线的钥匙孔围道，适配$z^\alpha F(z)/G(z)$形式的积分，这里$\alpha=-1/2$（因为$\sqrt{x}=x^{{1/2}$，原积分可写成$\int_0}{+\infty} x^{-1/2}/[(4x2+1)(x+1)]dx$）。需要注意的是，$z=0$是分支点而非极点，真正的极点是$z=-1, i/2, -i/2$。

处理$\pm i/2$处的留数时，关键是要严格遵循你选定的分支（通常取$\arg z \in (0,2\pi)$），计算每个极点处$z^{-1/2}$的取值：

• 对$z=i/2$，$\arg z=\pi/2$，所以$z^{-1/2}=(e{i\pi/2}/2)^{-1/2}=e{-i\pi/4}/\sqrt{1/2}=1-i$（化简后）；
• 对$z=-i/2$，$\arg z=3\pi/2$，所以$z^{-1/2}=(e{i3\pi/2}/2)^{-1/2}=e{-i3\pi/4}/\sqrt{1/2}=1+i$（化简后）。

计算这两个极点的留数时，虽然中间会出现虚数平方根，但只要按代数规则化简，最终和$z=-1$处的留数相加后，虚部会相互抵消，再代入留数公式$\frac{2\pi i}{1-e^{2\pi i\alpha}}$（这里$1-e^{2\pi i\alpha}=1-e^{-\pi i}=2$），就能得到正确的实数结果。不过这个过程确实繁琐，容易出错。

更简便的积分方法 #

推荐两种更直观的解法，避开分支函数的复杂计算：

方法1：变量替换+实轴留数法

令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$dx=2t dt$，原积分转化为：
$$2\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(4t^4+1)(t2+1)}$$
由于被积函数是偶函数，可扩展为整个实轴积分的一半：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{(4t^4+1)(t2+1)}$$
此时只需计算上半平面的极点：$t=i$（来自$t^{2+1=0$）、$t=\frac{1+i}{2}$和$t=\frac{-1+i}{2}$（来自$4t}4+1=0$）。计算这三个一阶极点的留数并求和，再乘以$2\pi i$，就能得到实轴积分的结果，最后乘以1/2再乘2（来自变量替换的系数），即可得到$\frac{2\pi}{5}$。

方法2：部分分式分解

先对被积函数做部分分式拆分：
$$\frac{1}{(4t^4+1)(t2+1)} = \frac{4(1-t^2)}{5(4t4+1)} + \frac{1}{5(t^2+1)}$$
拆分后将积分拆成两部分：

1. $\int_0^{{+\infty}\frac{1}{t}2+1}dt$是标准积分，结果为$\frac{\pi}{2}$；
2. $\int_0^{{+\infty}\frac{1-t}2}{4t^{4+1}dt$可通过分子分母同除以$t}2$，再做变量替换$u=t+\frac{1}{t}$，或用留数法快速计算，结果为$\frac{\pi}{8}$。

将两部分结果代入后，即可轻松得到原积分的结果$\frac{2\pi}{5}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user266764