关于实数域的一类特殊拓展的技术问询：基于j³=-1的ℝ-代数

周末我琢磨出了实数域$\mathbb{R}$上的一种代数拓展，和复数的思路非常像——只不过把满足$i^{2=-1$的虚数单位$i$，换成了满足$j}3=-1$的$j$。它的定义如下：

$$\Bbb{E}={x-yj+yj^2 : x, y\in\Bbb{R}\quad \text{and}\quad j^3=-1}$$

加法和乘法都按代数中的标准规则定义。我特意把这类数定义成这个形式，是因为对于任意$z=x-yj+yj^2\in\Bbb{E}$，可以定义一个共轭元$\bar{z}$：

$$\bar{z}=(x+y)+yj-yj^2\in\Bbb{E}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bumblebee