设局部Noetherian整环(A,𝔪_A)⊆(B,𝔪_B)且𝔪_B=𝔪_A B，A正规则B正规？

答案是不一定成立：存在满足题设所有条件，但B不是正规环的例子。

先解释下正则环的情况为什么成立：当A是正则局部环时，$\mathfrak{m}_B = \mathfrak{m}_A B$意味着B的极大理想的极小生成元个数不会超过A的极大理想生成元个数。而正则环的维数等于其极大理想的极小生成元个数，同时$\dim B = \dim A$，因此B的极大理想极小生成元个数恰好等于它的维数，B是正则环，自然也是正规环。

但如果A只是正规环，我们可以构造出非正规的B。比如取A为域$k$上的正规局部环$k[[t]]$（离散赋值环，显然正规），然后构造一个包含A的局部Noetherian整环B：让B是分式域$k((t))$中的子环，由A和满足$u^2 = t + t^2$的元素$u$生成，但对B做局部化调整，使得B的极大理想恰好由$\mathfrak{m}_A$生成。此时B不是整闭的（因为$u$的整闭包会包含更多元素），因此B不是正规环，但完全满足题设的包含关系和极大理想条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vincenzo Zaccaro