求由满足特定关系的生成元生成的群G的所有可能阶数

各位群论领域的大佬们，我最近碰到了这么一个问题，自己尝试推导了一部分，但不确定思路对不对，想请大家帮忙看看：

群G由三个元素a,b,c生成，满足关系$a^2=b3=c^4=1$，$cbc{-1}=a$，求G的所有可能阶数。

我的尝试过程是这样的：

• 首先，利用已知的$a = cbc^{{-1}$，计算$a}2$：
  $$a^2 = (cbc^{-1})(cbc{-1}) = cb^2c{-1}$$
• 又因为$a^{2=1$，所以$cb}2c^{{-1}=1$。两边同时左乘$c}{-1}$、右乘$c$，就能得到$b^2=1$。
• 而题目里已经给出$b^3=1$，这说明b的阶必须同时整除2和3，而2和3互质，所以b的阶只能是1，也就是$b=1$。

到这里我就有点卡住了，不知道接下来该怎么推导G的阶数，也不确定前面的步骤有没有问题，恳请各位大佬指点迷津！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者testguy