关于Lebesgue测度下密度点的证明与构造问题求助

我来帮你搞定这两个实分析问题，咱们一个一个来：

首先咱们回忆下密度点的定义：对于平面上的可测集$S$，点$x$是$S$的密度点，意思是当你取$x$周围越来越小的开球时，$S$在这个球里的测度占球总测度的比例趋近于1，也就是：
$$\lim_{r \to 0^+} \frac{m(S \cap B(x,r))}{m(B(x,r))} = 1$$
这里$B(x,r)$是中心在$x$、半径为$r$的开球，$m$是Lebesgue测度。

我用反证法来证：假设原点$(0,0)$不是$A$的密度点，那肯定存在某个固定的$\varepsilon > 0$，能找到一串越来越小的半径$r_n \to 0^+$，使得$A$在$B(0,r_n)$里的测度占比不超过$1-\varepsilon$，也就是：
$$\frac{m(A \cap B(0,r_n))}{m(B(0,r_n))} \leq 1 - \varepsilon$$
咱们令$E_n = B(0,r_n) \setminus A$，也就是$B(0,r_n)$里不属于$A$的部分，那$m(E_n) \geq \varepsilon \pi r_n^2 > 0$，这部分测度是正的。

现在关键点来了：$E_n$里的每个点$x$（除了原点）都是$A$的密度点，那对于这样的$x$，当你取$x$周围很小的球$B(x,t)$时，$A$在这个球里的占比趋近于1，反过来就是$E_n$在这个球里的占比趋近于0，也就是：
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{m(E_n \cap B(x,t))}{m(B(x,t))} = 0$$
换句话说，$E_n$里的每个点都是$E_n$的密度零点——也就是这个点周围几乎没有$E_n$的点。

但咱们学过Lebesgue密度定理啊，它说对于任何可测集$E$，几乎所有$E$里的点都是$E$的密度点（也就是点周围大部分都是$E$的点）。如果$m(E_n) > 0$，那$E_n$里肯定有至少一个点是它自己的密度点，这就和“$E_n$里所有点都是密度零点”矛盾了！

所以假设不成立，原点必须是$A$的密度点。

这个问题咱们可以用二进制区间递归构造，思路很直接：要让每个$\left[0,\frac{1}{2^{n}\right]$里$A$的测度刚好是区间长度的一半，也就是$\frac{1}{2}{n+1}}$，咱们可以把每个层级的二进制区间拆开来调整。

具体步骤如下：

• 先看每个正整数$k$对应的区间$I_k = \left[\frac{1}{2^{k+1}}, \frac{1}{2^{k}\right]$，这个区间的长度是$\frac{1}{2}{k+1}}$。
• 咱们在每个$I_k$里取一个测度为$\frac{1}{2^{k+2}}$的子集，最简单的就是取$I_k$的左半部分，比如$A_k = \left[\frac{1}{2^{k+1}}, \frac{3}{2^{{k+2}}\right]$——算一下长度：$\frac{3}{2}{k+2}} - \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{3}{2^{k+2}} - \frac{2}{2^{k+2}} = \frac{1}{2^{k+2}}$，刚好符合要求。
• 最后把所有这些$A_k$拼起来，再加上原点（原点测度为0，不影响结果），得到集合$A = \bigcup_{k=1}^\infty A_k \cup {0}$。

现在验证一下条件：对于任意正整数$n$，$\left[0,\frac{1}{2^n}\right]$其实就是所有$k \geq n$的$I_k$加上原点，那$A$在这个区间里的测度就是所有$A_k$（$k \geq n$）的测度之和：
$$m\left(A \cap \left[0,\frac{1}{2^n}\right]\right) = \sum_{k=n}^\infty m(A_k) = \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{2^{k+2}}$$
这是个等比级数，首项是$\frac{1}{2^{{n+2}}$，公比是$\frac{1}{2}$，求和结果是$\frac{\frac{1}{2}{n+2}}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2^{{n+1}}$，正好是$\left[0,\frac{1}{2}n}\right]$长度的一半，完美符合题目要求！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gil Or