求解四次复系数方程$z^4+(-2+2\sqrt{2}i)z^3+(3-4\sqrt{2}i)z^2+(4+10\sqrt{2}i)z-10=0$的所有解

对于方程 z⁴ + (-2 + 2√2 i)z³ + (3 - 4√2 i)z² + (4 + 10√2 i)z - 10 = 0，我们可以通过寻找低次根+多项式因式分解的方式求解，具体步骤如下：

步骤1：寻找简单根 #

首先排除实根（代入实根后虚部无法为0），转而尝试纯虚根：
设 z = yi（y∈R），代入方程后分离实部和虚部：

• 虚部：2√2 y(y² - 2y + 5) = 0，因 y²-2y+5=(y-1)²+4>0，故仅 y=-√2 可能满足实部为0
• 代入 y=-√2 验证实部，结果为0，因此 z = -√2 i 是方程的一个根。

步骤2：四次多项式降次为三次多项式 #

将原多项式分解为 (z + √2 i)(z³ + az² + bz + c)，展开后对比系数，解得：
a = -2 + √2 i，b = 5 - 2√2 i，c = 5√2 i
得到三次方程：
z³ + (-2 + √2 i)z² + (5 - 2√2 i)z + 5√2 i = 0

步骤3：求解三次方程 #

再次代入 z=-√2 i 到三次方程，验证成立，说明它是三次方程的根。将三次多项式分解为 (z + √2 i)(z² + dz + e)，对比系数得：
d=-2，e=5
得到二次方程：z² - 2z + 5 = 0

步骤4：求解二次方程 #

用求根公式解二次方程：
z = [2 ± √(4 - 20)]/2 = [2 ± 4i]/2 = 1 ± 2i

所有解汇总 #

原四次方程的所有根为：

• 二重根：z = -√2 i
• 单根：z = 1 + 2i
• 单根：z = 1 - 2i

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Philip Moreira