$\mathcal{L}_{M}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$是否为所有随机变量集合的线性子空间？

你这个问题提得很好！其实你的初始判断是错的——$\mathcal{L}_M(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$确实是所有随机变量构成集合的线性子空间。下面我来一步步解释为什么，以及你可能哪里想错了。

线性子空间的验证 #

要证明一个集合是线性子空间，需要满足三个核心条件：包含零元素、数乘封闭、加法封闭。我们逐一验证：

1. 包含零随机变量 #

零随机变量$X \equiv 0$的矩生成函数为：
$$\mathbb{E}[e^{tX}] = \mathbb{E}[1] = 1$$
显然对任意$t \in \mathbb{R}$都有限，因此$0 \in \mathcal{L}_M$。

2. 数乘封闭性 #

假设$X \in \mathcal{L}_M$，$a$是任意实数。对于任意$t \in \mathbb{R}$，$aX$的矩生成函数为：
$$\mathbb{E}[e^{t(aX)}] = \mathbb{E}[e^{(at)X}]$$
由于$at \in \mathbb{R}$，而$X$的矩生成函数对所有实数$t$都存在，因此$\mathbb{E}[e^{(at)X}] < \infty$。这说明$aX \in \mathcal{L}_M$，数乘封闭性成立。

3. 加法封闭性（你疑惑的核心） #

假设$X, Y \in \mathcal{L}_M$，我们需要证明对任意$t \in \mathbb{R}$，$\mathbb{E}[e^{t(X+Y)}] < \infty$。这里可以用柯西不等式来推导：

对于任意随机变量$U$和$V$，柯西不等式给出：
$$\mathbb{E}[|UV|] \leq \sqrt{\mathbb{E}[U^2] \cdot \mathbb{E}[V^2]}$$

令$U = e^{tX}$，$V = e^{tY}$，代入得：
$$\mathbb{E}[e^{t(X+Y)}] = \mathbb{E}[e^{tX} \cdot e^{tY}] \leq \sqrt{\mathbb{E}[e^{2tX}] \cdot \mathbb{E}[e^{2tY}]}$$

因为$X \in \mathcal{L}_M$，所以对于$2t \in \mathbb{R}$，$\mathbb{E}[e^{2tX}] < \infty$；同理$\mathbb{E}[e^{2tY}] < \infty$。因此右边的平方根是有限值，左边的期望自然也有限。这就证明了$X+Y \in \mathcal{L}_M$，加法封闭性成立。

你可能的误解 #

你觉得$X+Y$未必属于$\mathcal{L}_M$，大概率是混淆了两种不同的“矩生成函数存在”定义：

• 你问题中定义的是对所有实数$t$都存在（即尾部衰减速度比任何指数函数都快），这类随机变量的和依然保持快速衰减的尾部，因此MGF对所有$t$都存在。
• 另一种常见定义是仅在$t=0$的某个邻域内存在（比如指数分布、泊松分布的MGF），这类集合虽然也是线性子空间，但容易和前者混淆。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Namch96