求证：若$A\cap B\subsetneq A\cap C$且$A\setminus C$到$A\setminus B$有单射，则$A\setminus B$是无限集

嘿，我来帮你拆解这个问题。首先得明确一个关键点：你提到的“证明$A\setminus B \supsetneq A\setminus C$就能推出$A\setminus B$无限”这个思路是站不住脚的——真子集关系并不等价于无限性，有限集之间也可以存在真包含关系。甚至我们能直接找到原命题的反例，说明原命题本身不成立：

原命题的反例验证 #

设有限集$A={1,2,3}$，$B={1}$，$C={1,2}$：

• 第一个条件：$A\cap B = {1}$，$A\cap C = {1,2}$，显然${1} \subsetneq {1,2}$，满足“$A\cap B$是$A\cap C$的真子集”；
• 第二个条件：$A\setminus C = {3}$，$A\setminus B = {2,3}$，定义函数$f(3)=2$，这是一个完全合法的单射（定义域中每个元素对应唯一的像，且像无重复）；
• 但结果：$A\setminus B = {2,3}$是有限集，直接推翻了原命题。

你的思路问题 #

你想通过证明$A\setminus B \supsetneq A\setminus C$来推导无限性，但这个逻辑链条断裂了——有限集之间也能满足真包含（比如上面例子中的${2,3} \supsetneq {3}$），所以即使证明了真包含，也无法直接得出$A\setminus B$是无限集的结论。

修正后成立的命题及证明 #

如果我们调整条件的顺序，命题就能成立：

修正命题：若$A\cap C \subsetneq A\cap B$，且存在单射$f:A\setminus B \to A\setminus C$，则$A\setminus B$为无限集。

证明（反证法） #

假设$A\setminus B$是有限集，我们来推导矛盾：

1. 利用集合基数的基本性质：对任意集合$X,Y$，有$|X| = |X\cap Y| + |X\setminus Y|$（不交并的基数相加）。
   • 对$A$和$B$：$|A| = |A\cap B| + |A\setminus B|$
   • 对$A$和$C$：$|A| = |A\cap C| + |A\setminus C|$
2. 联立两个等式可得：
   $$|A\cap B| + |A\setminus B| = |A\cap C| + |A\setminus C|$$
   整理后：
   $$|A\setminus C| - |A\setminus B| = |A\cap B| - |A\cap C|$$
3. 因为$A\cap C \subsetneq A\cap B$，所以$|A\cap B| - |A\cap C| \geq 1$（有限集下是正整数，无限集下若为真子集且基数相等，后续推导仍会矛盾），因此：
   $$|A\setminus C| > |A\setminus B|$$
4. 但我们已知存在单射$f:A\setminus B \to A\setminus C$，根据单射的基数性质，单射意味着$|A\setminus B| \leq |A\setminus C|$——但这里我们得到$|A\setminus C| > |A\setminus B|$，如果$A\setminus B$是有限集，那么从较大基数的有限集到较小基数的有限集不可能存在单射（有限集的单射要求定义域基数≤值域基数），这就产生了矛盾。

因此假设不成立，$A\setminus B$必须是无限集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eran Anton