射影k-概形上丰富线丛的处处稠密整体截面存在性证明（含有限域）

让我来一步步证明这个结论，而且保证在有限域上也完全适用：

1. 回顾丰富线丛的核心性质 #

对于域$k$上纯维度$n$的射影概形$X$，给定的丰富线丛$L$有一个关键性质：存在正整数$m>0$，使得$L^{\otimes m}$是非常丰富的（very ample）。这个结论对任意域（包括有限域）都成立——丰富性的定义不依赖于域的特征或有限性，射影概形上的线丛丰富当且仅当它的某个张量幂能给出$X$到射影空间的闭嵌入。

非常丰富意味着存在闭嵌入$i: X \hookrightarrow \mathbb{P}^{N_k$，使得$L}{\otimes m} \cong i^{*\mathcal{O}_{\mathbb{P}}N}(1)$。这里$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}(1)$的整体截面对应射影空间的齐次线性多项式，它们的零点集就是超平面。

2. 利用对偶射影空间的不可约性 #

考虑对偶射影空间$\mathbb{P}^{{N*}_k$，它的每个点对应$\mathbb{P}}N_k$中的一个超平面。对于$X$的每个不可约分支$X_i$（$X$是射影概形，不可约分支数量有限，设为$t$个），定义$Z_i \subseteq \mathbb{P}^{N*}_k$为所有包含$X_i$的超平面构成的子集：
$$Z_i = { H \in \mathbb{P}^{N*}_k \mid X_i \subseteq H }$$

• $Z_i$是$\mathbb{P}^{N*}_k$的真闭子概形：因为$X_i$是$n$维不可约射影概形，超平面是$N-1$维的，$X_i$不可能被所有超平面包含（若$n=0$，$X$是有限点集，直接取截面在每个点非零即可；若$n \geq1$，超平面无法包含整个$n$维不可约概形），因此$Z_i$是真子集，且是闭的（包含$X_i$的超平面对应对偶空间中的线性条件，构成闭子概形）。

• $\mathbb{P}^{N*}_k$是不可约射影概形，根据不可约概形的基本性质：不可约概形不能被有限多个真闭子概形覆盖（这个性质与域是否有限无关，只依赖概形的不可约性）。因此$Z_1 \cup Z_2 \cup ... \cup Z_t$是$\mathbb{P}^{N*}_k$的真闭子概形，其补集非空。

这意味着存在一个超平面$H \in \mathbb{P}^{N*}_k$，它不包含任何一个$X_i$。

3. 拉回截面得到所需的$s$ #

对应这个超平面$H$的整体截面$s' \in H^0(\mathbb{P}N_k, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}(1))$，通过闭嵌入$i$拉回得到截面$s = i^*s' \in H^0(X, L^{\otimes m})$。

现在验证$s$满足题目要求：

• 对于每个不可约分支$X_i$，因为$H$不包含$X_i$，所以$s'$在$X_i$上不恒为零，因此$s$在$X_i$上也不恒为零。
• $X_s$的定义是${ x \in X \mid w_x(s_x) \in \mathcal{O}_{X,x}^\times }$，这其实就是$s$的非零点集（因为线丛的截面在局部同构下对应结构层的截面，可逆等价于非零）。在每个不可约分支$X_i$上，$X_s \cap X_i$是$X_i$的非空开子集，而不可约概形的非空开子集是稠密的，因此$X_s$在$X$中处处稠密（在每个不可约分支上都稠密）。

4. 有限域下的有效性说明 #

可能有人会担心有限域的情况，但上面的证明完全不依赖域的无限性：

• 对偶射影空间的不可约性在有限域上同样成立，因为射影空间$\mathbb{P}^N_k$在任意域上都是不可约的。
• 不可约概形不能被有限多个真闭子概形覆盖的性质，只涉及概形的拓扑结构，与域的大小无关——真闭子概形的并的闭包仍是真子集，无法覆盖整个不可约概形。

这样我们就找到了满足条件的正整数$m$和截面$s \in L^{\otimes m}(X)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者windsheaf