用数学归纳法证明p阶对称实矩阵A^(p)的特征值及重数

我们要证明的是：对于p阶对称实矩阵
$$A^{(p)} = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \ 1 & a & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & a & \dots & 1 & 1 & 1 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & a & 1 \ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & a \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{p\times p}$$
它的特征值为$\lambda_+=a+p-1$（单根），以及重数为$p-1$的$\lambda_-=a-1$。你提到已经用Mathematica做了实证验证，那我们现在用数学归纳法严谨推导这个结论。

1. 归纳基础：p=2的情况 #

对于p=2，矩阵为：
$$A^{(2)} = \begin{pmatrix} a & 1 \ 1 & a \end{pmatrix}$$
计算其特征多项式：
$$\det(A^{(2)}-\lambda E_2) = \det\begin{pmatrix}a-\lambda & 1\1 & a-\lambda\end{pmatrix} = (a-\lambda)^2 - 1$$
展开并因式分解：
$$(a-\lambda)^2 -1 = (\lambda - (a-1))(\lambda - (a+1))$$
令多项式等于0，得到特征值$\lambda_1=a-1$和$\lambda_2=a+1=a+2-1$，完全符合我们要证明的结论——单根为$a+p-1$，另一特征值重数为$2-1=1$。基础情况成立。

2. 归纳假设：假设p=k时结论成立 #

假设当p=k（k≥2）时，矩阵$A^{(k)}$的特征值满足：

• 单特征值$\lambda_+=a+k-1$
• 重数为$k-1$的特征值$\lambda_-=a-1$

对应的特征多项式为：
$$\det(A^{(k)} - \lambda E_k) = (\lambda - (a+k-1))(\lambda - (a-1))^{k-1}$$

3. 归纳步骤：证明p=k+1时结论成立 #

现在考虑p=k+1的情况，矩阵$A^{(k+1)}$可以写成分块形式：
$$A^{(k+1)} = \begin{pmatrix} A^{(k)} & \mathbf{1}_k \ \mathbf{1}_k^T & a \end{pmatrix}$$
其中$\mathbf{1}_k$是k维全1列向量，$\mathbf{1}k^{T$是其转置。我们需要计算特征多项式$\det(A}{(k+1)} - \lambda E{k+1})$，即：
$$\det\begin{pmatrix} A^{(k)} - \lambda E_k & \mathbf{1}_k \ \mathbf{1}_k^T & a - \lambda \end{pmatrix}$$

利用分块行列式公式：对于分块矩阵$\begin{pmatrix} M & \mathbf{u} \ \mathbf{v}^T & c \end{pmatrix}$，其行列式为$\det(M) \cdot \left( c - \mathbf{v}^T M^{-1} \mathbf{u} \right)$（当M可逆时）。

这里$M = A^{(k)} - \lambda E_k$，$\mathbf{u}=\mathbf{v}=\mathbf{1}k$，$c=a-\lambda$，代入得：
$$\det(A^{(k+1)} - \lambda E{k+1}) = \det(A^{(k)} - \lambda E_k) \cdot \left( (a-\lambda) - \mathbf{1}_k^T (A^{(k)} - \lambda E_k)^{-1} \mathbf{1}_k \right)$$

计算$\mathbf{1}_k^T (A^{(k)} - \lambda E_k)^{-1} \mathbf{1}_k$ #

根据归纳假设，$A^{(k)}\mathbf{1}_k = (a+k-1)\mathbf{1}_k$（因为$\mathbf{1}_k$是对应特征值$a+k-1$的特征向量），因此：
$$(A^{(k)} - \lambda E_k)\mathbf{1}_k = (a+k-1 - \lambda)\mathbf{1}_k$$
两边左乘$(A^{(k)} - \lambda E_k)^{-1}$，得：
$$(A^{(k)} - \lambda E_k)^{-1}\mathbf{1}_k = \frac{1}{a+k-1 - \lambda}\mathbf{1}_k$$
所以：
$$\mathbf{1}_k^T (A^{(k)} - \lambda E_k)^{-1} \mathbf{1}_k = \mathbf{1}_k^T \cdot \frac{1}{a+k-1 - \lambda}\mathbf{1}_k = \frac{k}{a+k-1 - \lambda}$$

代入化简特征多项式 #

把$\det(A^{(k)} - \lambda E_k)$和上述结果代入分块行列式公式：
$$
\begin{align*}
\det(A^{(k+1)} - \lambda E_{k+1}) &= (\lambda - (a+k-1))(\lambda - (a-1))^{k-1} \cdot \left( (a-\lambda) - \frac{k}{a+k-1 - \lambda} \right) \
&= (\lambda - (a+k-1))(\lambda - (a-1))^{k-1} \cdot \frac{(a-\lambda)(a+k-1 - \lambda) - k}{a+k-1 - \lambda}
\end{align*}
$$

对分子部分展开化简：
$$
\begin{align*}
(a-\lambda)(a+k-1 - \lambda) - k &= (a-\lambda)\left( (a-1-\lambda) + k \right) - k \
&= (a-\lambda)(a-1-\lambda) + k(a-\lambda) - k \
&= (a-\lambda)(a-1-\lambda) + k(a-\lambda - 1) \
&= (a-1-\lambda)(a-\lambda + k) \
&= -(λ - (a-1)) \cdot (λ - (a + k))
\end{align*}
$$

代入后约分（注意$\lambda - (a+k-1) = -(a+k-1 - \lambda)$，可以约掉分母的$a+k-1 - \lambda$）：
$$
\begin{align*}
\det(A^{(k+1)} - \lambda E_{k+1}) &= (\lambda - (a+k-1))(\lambda - (a-1))^{k-1} \cdot \frac{-(λ - (a-1)) \cdot (λ - (a + k))}{a+k-1 - \lambda} \
&= (-1)(λ - (a-1))^{k-1} \cdot (-1)(λ - (a-1)) \cdot (λ - (a + k)) \
&= (λ - (a + k))(λ - (a-1))^k
\end{align*}
$$

这个多项式的根为：

• $\lambda = a + k = a + (k+1) - 1$（单根）
• $\lambda = a-1$（重数k = (k+1)-1）

完全符合我们要证明的结论，因此p=k+1时结论成立。

4. 归纳结论 #

由数学归纳法，对于所有正整数p≥2，矩阵$A^{(p)}$的特征值为$\lambda_+=a+p-1$（单根）和重数为$p-1$的$\lambda_-=a-1$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bodokaiser