求2²·3³·5³·7⁵的(4n+1)型因数个数：为何是47而非48？

嘿，你这个思路已经很接近了，但差了最后一步！咱们一步步拆解：

首先，你说的没错：因为(4n+1)是奇数，所以符合条件的因数一定是3^a·5^b·7^c的形式，其中a∈{0,1,2,3}（4种选择），b∈{0,1,2,3}（4种），c∈{0,1,2,3,4,5}（6种）。

但这里有两个关键细节需要理清，咱们不用模运算，用乘法的规律来解释：

• 先看5^b：5本身是4的倍数加1（5=4×1+1），不管乘几次，结果还是4的倍数加1——比如5²=25=4×6+1，5³=125=4×31+1，以此类推，所以5^b永远是(4n+1)型。
• 再看3^a·7^c：3和7都是4的倍数加3（3=4×0+3，7=4×1+3）。两个这样的数相乘，结果会变成4的倍数加1：比如3×7=21=4×5+1；但如果是奇数个这样的数相乘，结果会变回4的倍数加3：比如3×3×7=63=4×15+3。简单说，3^a·7^c是(4n+1)型的条件是a+c为偶数（相当于偶数个4倍数加3的数相乘）。

接下来算符合条件的组合数：

• a的偶数取值有0、2（2种），奇数取值有1、3（2种）；
• c的偶数取值有0、2、4（3种），奇数取值有1、3、5（3种）；
• 满足a+c为偶数的组合是：a偶且c偶（2×3=6种） + a奇且c奇（2×3=6种），总共12种(a,c)组合；
• 每个(a,c)对应4种b的选择，所以总共12×4=48个符合(4n+1)型的因数。

那为啥考试答案是47？这大概率是题目隐含了排除原数本身的要求（也就是求“真因数”，即除了数本身之外的因数）：

• 原数的奇数部分是3^3·5^3·7^5，其中a=3，c=5，a+c=8是偶数，所以原数本身是(4n+1)型的；
• 如果题目要求的是真因数，那就要把这个最大的因数去掉，48-1=47，正好是考试的正确答案！

另外还有一种少见的可能：题目默认n是正整数（即4n+1≥5），那就要去掉因数1（1=4×0+1），48-1=47，但这种情况通常不会默认，更合理的解释是题目要求真因数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Voneone