求抛物线y=x²-3x与直线y=2x、y=x围成区域的面积

别担心，拆分区域其实没那么难，我们一步步来，先把核心思路理清楚：要算曲线围成的面积，第一步必须找到所有交点，这是确定积分区间的关键；第二步根据交点划分区间，确定每个区间里谁是上边界、谁是下边界；最后分别积分再加总就行。

步骤1：找三条曲线的交点 #

我们有三条曲线：

• 抛物线：y = x² - 3x
• 直线1：y = x
• 直线2：y = 2x

两两联立求交点：

1. 直线1和直线2：联立x = 2x，解得x=0，对应点(0, 0)
2. 抛物线和直线1：联立x² - 3x = x → x² - 4x = 0 → x(x-4)=0，解得x=0和x=4，对应点(0,0)和(4, 4)
3. 抛物线和直线2：联立x² - 3x = 2x → x² -5x=0 → x(x-5)=0，解得x=0和x=5，对应点(0,0)和(5, 10)

现在我们得到三个关键交点：(0,0)、(4,4)、(5,10)，这三个点就是围成区域的三个顶点，边界分别是：从(0,0)到(4,4)的直线y=x，从(4,4)到(5,10)的抛物线，以及从(5,10)回到(0,0)的直线y=2x。

步骤2：划分积分区间并确定上下边界 #

根据交点，我们把x轴分成两个区间：[0,4]和[4,5]，分别看每个区间的上下边界：

• 区间[0,4]：区域的上边界是直线y=2x，下边界是直线y=x（因为在这个区间里，2x ≥ x，且这两条直线构成了区域的上下边）
• 区间[4,5]：区域的上边界还是直线y=2x，但下边界变成了抛物线y=x²-3x（因为在这个区间里，2x ≥ x²-3x，而直线y=x已经在抛物线下方了，不再是区域的边界）

步骤3：分别计算积分并求和 #

计算区间[0,4]的面积 #

这个区间的面积是上边界减下边界的积分：

∫₀⁴ (2x - x) dx = ∫₀⁴ x dx

计算原函数：(1/2)x²，代入上下限：

(1/2)*4² - (1/2)*0² = 8 - 0 = 8

计算区间[4,5]的面积 #

这个区间的面积是上边界2x减下边界x²-3x的积分：

∫₄⁵ [2x - (x² - 3x)] dx = ∫₄⁵ (5x - x²) dx

计算原函数：(5/2)x² - (1/3)x³，代入上下限：

• 代入x=5：(5/2)*25 - (1/3)*125 = 125/2 - 125/3 = 125/6
• 代入x=4：(5/2)*16 - (1/3)*64 = 40 - 64/3 = 56/3 = 112/6
• 差值：125/6 - 112/6 = 13/6

总面积 #

把两个区间的面积加起来：

8 + 13/6 = 48/6 + 13/6 = 61/6 ≈ 10.17

验证一下（可选） #

你可以换个思路验证：计算从0到5，直线y=2x与抛物线围成的面积，减去从0到4，直线y=x与抛物线围成的面积，结果应该一样：

• 0到5的面积：∫₀⁵ (2x - (x²-3x)) dx = ∫₀⁵ (5x -x²) dx = [5/2 x² -1/3 x³]₀⁵ = 125/2 -125/3 = 125/6
• 0到4的面积：∫₀⁴ (x - (x²-3x)) dx = ∫₀⁴ (4x -x²) dx = [2x² -1/3 x³]₀⁴ = 32 - 64/3 = 32/3 = 64/6
• 差值：125/6 -64/6=61/6，和之前的结果一致，说明计算正确！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user527567