求$23! +29!$除以$13! +19!$的余数，已做初步推导需指导

嘿，你已经做了超棒的第一步因式分解，接下来我们顺着这个思路继续拆解就行！

第一步：统一分子分母的公因式 #

你已经把分子分母拆成了：
$$23! +29! =23! \times \left[1 + (24 \times25 \times26 \times27 \times28 \times29)\right]$$
$$13! +19! =13! \times \left[1 + (14 \times15 \times16 \times17 \times18 \times19)\right]$$

我们先给几个关键的乘积起个名字，方便后续计算：

• 先算分母里的括号部分：$A = 1 + 14×15×16×17×18×19$，算出来是19535041（因为$14×15×…×19=19535040$，加1就得到A）
• 记$P = 14×15×…×19$，那显然$P = A-1$，所以$P$除以$A$的余数是$-1$（这个性质后面会很有用）
• 再算$23!$里比$19!$多的部分：$Q =20×21×22×23$，结果是212520
• 分子里的括号部分：$S =1 +24×25×26×27×28×29$，算出来是342014401

现在分子可以改写为$13!×P×Q×S$（因为$23!=13!×14×15×…×23=13!×P×Q$），分母就是$13!×A$。

第二步：简化余数的核心计算 #

我们要求的是$(23!+29!)$除以$(13!+19!)$的余数，等价于求$13!$乘以$(P×Q×S)$除以$A$的余数——因为分子分母都有$13!$，约掉后，余数部分就是$13!$乘以后面分数的余数。

刚才我们说$P ≡ -1 \pmod{A}$，那代入进去就有：
$$P×Q×S ≡ (-1)×Q×S \pmod{A}$$

第三步：计算$Q×S$除以$A$的余数 #

先简化$S$：$S=342014401$，我们算它除以$A$的余数——$A×17=332095697$，$342014401-332095697=9918704$，所以$S$除以$A$余9918704。

接下来算$Q×S=212520×9918704$，再求这个数除以$A$的余数，经过分步计算，得到这个乘积除以$A$的余数是13910016。

第四步：算出最终余数 #

因为$P×Q×S ≡ -13910016 \pmod{A}$，我们把它转成正余数：$19535041-13910016=5625025$。

最后，把这个余数乘以$13!$就是最终结果：$13!×5625025=6227020800×5625025=34927161411600000$。

（顺带提一句，这个结果肯定小于除数$13!+19!$，完全符合余数的定义哦）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user515608