紧致流形上用$C^{k,\alpha}$形式定义的deRham上同调有限维性问题

API 探路者

2026-5-19

Holder空间下的deRham上同调群有限维性

好问题！答案是肯定的——这个用Holder空间形式定义的商空间（即Holder版本的deRham上同调群）确实是有限维的，而且它和我们熟悉的光滑deRham上同调群$H^\bullet_{DR}(M)$同构，维数完全一致。

核心依赖紧致流形上的椭圆偏微分方程正则性理论，以及Hodge分解在Holder空间的推广：

满射性：Holder闭形式等价于光滑闭形式
任取闭的Holder形式$\omega \in C^{{k,\alpha}(\bigwedge}p T^*M)$（满足$d\omega=0$），利用椭圆算子的正则性，我们可以将$\omega$分解为：
$$\omega = h + d\eta$$
其中$h$是光滑的调和形式（满足$dh=0$且$\delta h=0$，紧致流形上的调和形式必然光滑），$\eta \in C^{{k+1,\alpha}(\bigwedge}{p-1} T^*M)$是一个Holder形式。这意味着$\omega$在商空间中的等价类与光滑闭形式$h$的等价类完全相同，因此光滑上同调群到Holder上同调群的诱导映射是满射的。
单射性：Holder恰当的光滑形式必光滑恰当
如果一个光滑闭形式$\omega$在Holder商空间中是恰当的，即存在$\eta \in C^{{k,\alpha}(\bigwedge}{p-1} T^*M)$使得$\omega = d\eta$。由于$\omega$是光滑的，根据一阶椭圆算子$d$的正则性定理：若$d\eta$光滑，则$\eta$本身也必须是光滑的。这说明$\omega$在光滑deRham上同调中也是恰当的，因此诱导映射是单射的。

既然两个上同调群同构，而光滑deRham上同调是有限维的，那么Holder版本的上同调群自然也是有限维的。