求证：满足g(0)<g(1)且原像至多单元素的g:[0,1]→ℝ严格递增

首先，先明确题目给出的核心条件：

• 函数 g: [0,1] → ℝ，定义域为闭区间[0,1]
• g(0) < g(1)
• 对任意实数 x，原像集合 g⁻¹(x) 至多包含一个元素 → 这等价于 g 是单射（不同输入对应不同输出，即若 x≠y，则 g(x)≠g(y)）

接下来我们用反证法来推导：

假设 g 不是严格递增函数，根据严格递增的定义，必然存在两个点 x₁, x₂ ∈ [0,1]，满足 x₁ < x₂，但 g(x₁) ≥ g(x₂)。我们分两种情况讨论：

情况1：g(x₁) = g(x₂) #

这直接与 g 是单射的条件矛盾——因为 x₁≠x₂，但它们对应同一个函数值，原像集合 g⁻¹(g(x₁)) 包含了 x₁ 和 x₂ 两个元素，不符合题目中“原像至多一个元素”的要求。因此这种情况不可能发生。

情况2：g(x₁) > g(x₂) #

结合已知的 g(0) < g(1)，我们再细分两种子情况：

子情况2a：x₁ = 0

此时 g(0) > g(x₂)，但题目给出 g(0) < g(1)，因此有 g(x₂) < g(0) < g(1)，且 x₂ < 1。
这里我们可以利用一个关键结论：定义在区间上的单射函数，必然是严格单调的（要么严格递增，要么严格递减）。如果 g 是严格递减的，那么应该有 g(0) > g(1)，这与已知的 g(0) < g(1) 直接矛盾，因此 g 只能是严格递增的。

子情况2b：x₁ ≠ 0 且 x₂ ≠ 1

此时 0 ≤ x₁ < x₂ ≤ 1，且 g(x₁) > g(x₂)。结合 g(0) < g(1)，必然出现矛盾：

• 如果 g(0) > g(x₁)，那么 0 < x₁ 但 g(0) > g(x₁)，同时 x₁ < x₂ 且 g(x₁) > g(x₂)，意味着 g 在 [0, x₂] 上是递减的，进而推出 g(x₂) > g(1)，最终得到 g(0) > g(x₂) > g(1)，与 g(0) < g(1) 矛盾。
• 如果 g(0) < g(x₁)，那么 0 < x₁ 且 g(0) < g(x₁)，但 x₁ < x₂ 且 g(x₁) > g(x₂)，出现了“先增后减”的情况。根据实数的稠密性，存在某个值 y 同时落在 (g(x₂), g(x₁)) 和 (g(0), g(1)) 区间内，这样 y 会对应两个不同的输入点（一个在 [0, x₁]，一个在 [x₂, 1]），与 g 是单射的条件矛盾。

综上，所有假设 g 不是严格递增的情况都会导出矛盾，因此 g 必然是严格递增函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user380605