关于Vakil代数几何习题4.3.B层同构的证明问询

你构造的映射$h \mapsto h/1$完全找对了方向，接下来我们一步步验证它是同构，先明确一个关键的拓扑等价关系（这是后续验证的核心基础）：

$D(g)\subset D(f)$等价于**$f$在$A_g$中是可逆元**——因为$D(g)\subset D(f)$意味着闭集$V(f)\subset V(g)$，即$\sqrt{(g)}\subset\sqrt{(f)}$，所以存在$k\geq1$使得$f^k = g\cdot t$（$t\in A$），因此在$A_g$里，$f$的逆元可以表示为$t/f^{k-1}$，直接验证$f\cdot t/f^{k-1} = g t^2/f{k-1}$？不对，更直观的是：$f^k = g t$意味着$(f/g)^k = t/g^{k-1}$，所以$f/g$在$A_g$中可逆，进而$f$本身在$A_g$中可逆。

1. 验证映射是单射 #

假设$\phi(h_1)=\phi(h_2)$，即$h_1/1 = h_2/1$在$A_f$中。根据局部化的等价规则，这意味着存在$m\geq1$使得$f^m(h_1 - h_2)=0$。

因为$f$在$A_g$中可逆，$f^{m$自然也在$A_g$中可逆，两边乘以$(f}m)^{-1}$，就能得到$h_1 - h_2 = 0$在$A_g$中。而$h_1,h_2\in S_1={h\in A:D(g)\subset D(h)}$，这意味着$h_1,h_2$在$A_g$中都是单位（$D(g)\subset D(h)$等价于$h$在所有不包含$g$的素理想中都不在其中，即$h$在$A_g$中没有素理想包含它，因此是单位），所以$h_1$和$h_2$在$\mathcal{O}{\text{Spec}A}|{D(f)}(D(g))$中代表同一个截面，映射是单射。

2. 验证映射是满射 #

任取$a/f^n\in S_2={a/f^n\in A_f:D(g/1)\subset D(a/f^n)}$，我们要找到$h\in S_1$使得$\phi(h)=a/f^n$。

首先，$D(g/1)\subset D(a/f^{n)$等价于$a/f}n$在$(A_f){g/1}=A{fg}$中是单位（和$S_1$的逻辑完全一致）。而$A_{fg}=A_g$（因为$f$在$A_g$中可逆，对$A_g$再局部化在$f$不会改变环），所以$a/f^n$在$A_g$中是单位。

因为$f$在$A_g$中可逆，设$f^{{-1}$是它的逆元，那么$a/f}n = a\cdot(f^{-1})n$在$A_g$中。这个元素是$A_g$中的单位，对应$A$中的元素$h$满足$D(g)\subset D(h)$（即$h\in S_1$），且$h = a\cdot(f^{-1})n$在$A_g$中——这意味着存在$k\geq1$使得$g^k(fn h - a)=0$，而$g^{k$在$A_f$中可逆，所以$f}n h = a$在$A_f$中，即$h/1 = a/f^n$。因此映射是满射。

3. 验证层同态的相容性（与限制映射交换） #

对于更小的基本开集$D(h)\subset D(g)\subset D(f)$，我们需要确认：
$$\phi\left(\mathcal{O}{\text{Spec}A}|{D(f)}(D(g)) \to \mathcal{O}{\text{Spec}A}|{D(f)}(D(h))\right) = \left(\mathcal{O}{\text{Spec}A_f}(D(g/1)) \to \mathcal{O}{\text{Spec}A_f}(D(h/1))\right)\circ\phi$$

左边的限制映射是把$k\in S_1$（满足$D(g)\subset D(k)$）映射到$k\in{k\in A:D(h)\subset D(k)}$（因为$D(h)\subset D(g)\subset D(k)$），对应$\phi(k)=k/1$。

右边的限制映射是把$k/1\in S_2$映射到$k/1\in{b/f^m\in A_f:D(h/1)\subset D(b/f^m)}$，结果和左边完全一致，相容性成立。

综上，你构造的映射诱导了层的同构，完成证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者No One