奇分母单位分数能否选取有限项求和为1？附偶分母可行示例

问题：从数列$\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{9},\frac{1}{11}$……（也就是所有奇分母的单位分数）里，能不能选有限个项加起来等于1？已知偶分母的单位分数是可以做到的，比如$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{12},\frac{1}{24}$的和就是1。

答案是完全不行，咱们用数论里的小技巧就能证明这一点：

假设真的存在有限个奇分母单位分数$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, ..., \frac{1}{a_n}$（每个$a_i$都是奇数），它们加起来等于1，也就是：
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n} = 1$$

咱们把等式两边同时乘以这些分母的最小公倍数$L$——因为所有$a_i$都是奇数，所以$L$肯定也是奇数。乘完之后，左边每一项$\frac{L}{a_i}$都是整数（毕竟$L$是公倍数嘛），而且奇数除以奇数还是奇数，所以每一项都是奇数。

左边是$n$个奇数相加，右边是$L$（奇数）。咱们知道：奇数个奇数相加结果是奇数，偶数个奇数相加是偶数。所以$n$必须是奇数，这一步看起来没问题，但接下来就会出现矛盾：

在这些分母$a_1$到$a_n$里，找一个最小的奇素因子$p$（比如如果有分母是3，那$p$就是3；如果没有3但有5，那$p$就是5）。假设其中某个分母$a_i = p^k * m$，这里$m$不被$p$整除（也就是把$a_i$里的$p$因子都提出来）。

现在看左边的和：除了对应$a_i$的那一项，其他所有项的$\frac{L}{a_j}$（$j≠i$）都包含$p$这个因子（因为$L$是最小公倍数，包含$p$，而$a_j$不被$p$整除，所以$\frac{L}{a_j}$是$p$的倍数），只有$\frac{L}{a_i}$这一项，因为$a_i$里有$p^k$，$L$里的$p$因子最多就是$k$个，所以$\frac{L}{a_i} = \frac{L}{p^k m}$，这个数是不包含$p$因子的（因为$L$里的$p$刚好被$p^k$抵消完了）。

所以左边的总和可以写成：$p$的倍数 + 一个不被$p$整除的数，结果肯定是不被$p$整除的。但右边的$L$是包含$p$因子的，也就是$L$是$p$的倍数——这就矛盾了！

这个矛盾说明我们最开始的假设是错的，不存在有限个奇分母单位分数加起来等于1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Xiangyu Chen