关于Beta与Gamma函数的技术咨询：推导指定无穷积分的变换方法

要处理这个关联Beta、Gamma函数的无穷积分，核心思路是通过变量变换将其转化为Beta函数的标准形式，下面是具体的变换方法：

第一步：拆分积分简化问题 #

首先利用分子的代数结构，将原积分拆分为两个独立的无穷积分，这样能分别对应Beta函数的形式：
$$
\int_0^\infty \frac{x^8(1-x6)}{(1+x)^{24}} , dx = \int_0^\infty \frac{x^8}{(1+x){24}}dx - \int_0^\infty \frac{x^{14}}{(1+x){24}}dx
$$
拆分后的两个积分均收敛（x→0时被积函数分别趋近于$x^8$和$x{14}$，可积；x→∞时分别趋近于$x^{-16}$和$x{-10}$，满足无穷积分收敛条件），可以单独处理。

方法1：分式线性变换（$t = \frac{x}{1+x}$） #

这是将无穷积分转化为Beta函数标准形式最常用的变换，Beta函数的标准定义为：
$$
B(p,q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t){q-1}dt
$$
通过变换$t = \frac{x}{1+x}$，可得$x = \frac{t}{1-t}$，$dx = \frac{dt}{(1-t)^2}$，且当$x \to 0$时$t \to 0$，$x \to \infty$时$t \to 1$。

以第一个拆分后的积分$\int_0^\infty \frac{x^8}{(1+x){24}}dx$为例，代入变换：
$$
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{x^8}{(1+x){24}}dx &= \int_0^1 \left( \frac{t}{1-t} \right)^8 \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{t}{1-t}\right)^{24}} \cdot \frac{dt}{(1-t)^2} \
&= \int_0^1 t^8 (1-t)^{-8} \cdot (1-t)^{24} \cdot (1-t)^{-2} dt \
&= \int_0^1 t^{9-1} (1-t)^{15-1} dt \
&= B(9,15)
\end{align*}
$$
同理，对第二个积分$\int_0^\infty \frac{x^{14}}{(1+x){24}}dx$做相同变换，最终会得到$B(15,9)$。而Beta函数具有对称性$B(p,q)=B(q,p)$，后续可结合Gamma函数的关系$B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$完成计算。

方法2：倒数型变换（$t = \frac{1}{1+x}$） #

另一种等价的变换是令$t = \frac{1}{1+x}$，此时$x = \frac{1-t}{t}$，$dx = -\frac{dt}{t^2}$，积分上下限从$x=0\to\infty$变为$t=1\to0$，调整上下限后负号抵消：

以第一个拆分积分为例：
$$
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{x^8}{(1+x){24}}dx &= \int_1^0 \left( \frac{1-t}{t} \right)^8 \cdot t^{24} \cdot \left( -\frac{dt}{t^2} \right) \
&= \int_0^1 (1-t)^8 t^{24-8-2} dt \
&= \int_0^1 t^{14} (1-t)^8 dt \
&= B(15,9)
\end{align*}
$$
这个变换同样能将无穷积分转化为Beta函数的标准积分形式，和方法1本质上是等价的，只是变量替换的形式不同。

额外提示：结合Gamma函数性质简化计算 #

因为积分中的指数都是整数，而Gamma函数对正整数有$\Gamma(n)=(n-1)!$的性质，所以可以直接将Beta函数转化为阶乘形式计算，比如$B(9,15)=\frac{\Gamma(9)\Gamma(15)}{\Gamma(24)}=\frac{8!\cdot14!}{23!}$，进一步计算两个积分的差值即可得到原积分结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sweta