双向算子范数咨询：是否存在使||AWf||≤|W|||Af||成立的范数？

嘿，这个问题很有针对性！答案是存在，这类范数最核心的是基于矩阵$A$构造的诱导算子范数，或者更一般地，利用$W$的对称正定性构造的加权范数适配形式，下面详细拆解：

1. 核心结论：存在适配的算子范数 #

当矩阵$A$可逆时，我们可以定义针对$W$的算子范数：
$$|W| = |A W A^{-1}|_2$$
这里$|·|_2$是标准的欧几里得算子范数（即最大奇异值）。此时对于任意向量$f$，不等式$||AWf||_2 ≤ |W| ||Af||_2$必然成立——因为$AWf = A W A^{-1} \cdot Af$，根据算子范数的次乘性，直接可得：
$$|AWf|_2 = |A W A^{-1} \cdot Af|_2 ≤ |A W A^{-1}|_2 \cdot |Af|_2 = |W| |Af|_2$$

如果$A$不可逆，我们可以用$A$的Moore-Penrose广义逆$A^+$替代$A{-1}$，定义$|W| = |A W A^+|_2$，此时对于不在$A$的零空间中的$f$（即$Af≠0$），不等式依然成立；若$f$在$A$的零空间中，$Af=0$，此时$AWf$属于$A$的列空间，若要求不等式成立，只需补充定义$|W|$为足够大的常数即可，但这种情况一般不影响核心场景的应用。

2. 更一般的加权范数框架 #

由于$W$是对称正定矩阵，我们可以做Cholesky分解$W = L L^T$（$L$为可逆下三角矩阵），构造加权向量范数：
$$|x|_W = |L^T x|2$$
对应的算子范数（从$|·|W$到标准欧几里得范数）定义为：
$$|M|{W→2} = \sup{x≠0} \frac{|M x|_2}{|x|_W} = |M L^{-T}|_2$$

此时，我们可以将$||AWf||_2$改写为：
$$|AWf|_2 = |A L L^T f|_2 = |A L \cdot |f|_W^\text{相关向量}|_2 ≤ |A L|_2 \cdot |f|_W$$
而$|Af|_2 = |A L^{-T} \cdot L^T f|_2 ≥ \frac{1}{|(A L^{-T}){-1}|_2} \cdot |f|_W$（当$A L^{-T}$可逆时），联立可得：
$$|AWf|_2 ≤ |A L|_2 \cdot |(A L^{-T}){-1}|_2 \cdot |Af|_2$$
这里$|A L|_2 \cdot |(A L^{-T}){-1}|_2$就可以作为$|W|$的取值，本质上和之前的$A W A^{-1}$算子范数是等价的，因为$L L^T = W$，所以$A L (A L^{-T}){-1} = A L L^T A^{-1} = A W A^{-1}$。

3. 这类范数的性质 #

• 次乘性：如果定义的是算子范数，它满足次乘性$|M_1 M_2| ≤ |M_1| |M_2|$，这是算子范数的基本性质。
• 适配性：这类范数是完全适配矩阵$A$和$W$的结构的，能够将$AWf$的范数约束到$Af$的范数与$W$的范数乘积，比通用的$|A| |W| |f|$上界更紧凑（尤其是当$A$和$W$有结构关联时）。
• 正定性：由于$W$是对称正定的，对应的加权范数满足正定性，算子范数也能正确反映$W$的“大小”。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SecretlyAnEconomist