代数簇有限性相关问题：维数≥1簇及零点集的有限性探讨

先直接回答第一个核心问题：

维数≥1的簇是否可以是有限的？ #

绝对不行。咱们先明确代数簇的维数定义：簇的维数是它所有不可约分支的最大维数。而有限集合的每个不可约分支都是单点，维数是0。如果一个簇的维数≥1，那它至少包含一个维数≥1的不可约分支——不管是在特征0还是特征p的域上，维数≥1的不可约簇都是无限的（毕竟你能在上面找到无限多个点）。所以维数≥1的簇不可能是有限集。

特征0代数闭域上的n-1个多项式零点集问题 #

设K是特征0的代数闭域，V⊂Kⁿ是n个变量的n-1个多项式的零点集，且V非空。

问题1：V是否可以是有限的？ #

答案还是不行。这里可以用Krull主理想定理来解释：n元多项式环K[x₁,…,xₙ]是Noetherian环，n-1个多项式生成的理想的高度最多是n-1。对于V的每个不可约分支，对应的素理想包含这个生成理想，所以该分支的维数是n减去素理想的高度，至少是n - (n-1) = 1。也就是说，V的每个不可约分支都是维数≥1的簇，而我们刚才已经知道，这样的簇必然是无限的，所以整个V肯定是无限集。

拿n=2的情况具体看：这时候就是单个多项式p(x,y)的零点集。如果p是非零多项式，要么它只含单个变量（比如只含x），那零点集是x=a₁,x=a₂,…的直线集合，每个直线都是无限的，投影到y轴就是整个K；要么p包含两个变量，那它的零点集是一条曲线，这条曲线投影到x轴或y轴都是K的余有限子集（也就是去掉有限个点后的全集），显然也是无限的。根本不可能出现有限的情况。

问题2：若K不是代数闭域且V非空，情况会如何？ #

这时候就完全不一样了，V可以是有限集，咱们举几个具体例子就清楚了：

• 例子1：取K=ℝ（实数域，非代数闭），n=2，多项式为(x²-1)² + (y²-1)² = 0。在实数域上，只有当x²-1=0且y²-1=0时等式成立，所以零点集是{(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)}，有限且非空。
• 例子2：取K=ℝ，n=3，两个多项式x²+y²=0和z=0。在实数域上，x²+y²=0只有x=y=0这一个解，加上z=0后，零点集就是单点(0,0,0)，有限非空。

本质原因是，非代数闭域上，多项式的零点集可能会因为域的限制，原本在代数闭域上的无限分支，在这个域里只有有限个点能满足条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Drike