三能级系统与测量：含给定哈密顿量的系统状态演化问询

咱们来好好拆解这个三能级系统的演化特性和相关测量问题，一步步梳理清楚：

这个三能级系统的哈密顿量可以表示为：
$$\mathcal{H}=\begin{pmatrix}E_0+\alpha&&\&E_0&i\beta\&-i\beta&E_0\end{pmatrix},$$
其中$\alpha,\beta$都是实数，且满足$\alpha>\beta>0$，$E_0$是系统的基态能量偏移量。

通过对角化哈密顿量，可以得到三个本征值和对应的归一化本征向量：

• 本征值：$E_0+\alpha$、$E_0 +\beta$、$E_0 -\beta$
• 对应本征向量：
  • 匹配$E_0+\alpha$的本征向量：$\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix}$
  • 匹配$E_0+\beta$的本征向量：$\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\-i\1\end{pmatrix}$
  • 匹配$E_0-\beta$的本征向量（我们标记为最低能量本征态 $\left|E_{\rm{min}}\right\rangle$）：$\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\i\1\end{pmatrix}$

假设$t=0$时系统处于任意初始态$\left|\psi(0)\right\rangle$，我们先把它用哈密顿量的本征态展开：
$$\left|\psi(0)\right\rangle = c_1\left|E_0+\alpha\right\rangle + c_2\left|E_0+\beta\right\rangle + c_3\left|E_{\rm{min}}\right\rangle$$
这里$|c_1|^2 + |c_2|^2 + |c_3|^2 = 1$，是量子态的归一化条件。

根据量子力学的幺正演化规则，任意时刻$t$的系统态可以写成：
$$\left|\psi(t)\right\rangle = c_1 e^{-i(E_0+\alpha)t/\hbar}\left|E_0+\alpha\right\rangle + c_2 e^{-i(E_0+\beta)t/\hbar}\left|E_0+\beta\right\rangle + c_3 e^{-i(E_0-\beta)t/\hbar}\left|E_{\rm{min}}\right\rangle$$
把所有项里共同的相位因子$e^{-iE_0 t/\hbar}$提出来，演化态可以简化为：
$$\left|\psi(t)\right\rangle = e^{-iE_0 t/\hbar}\left[ c_1 e^{-i\alpha t/\hbar}\left|E_0+\alpha\right\rangle + c_2 e^{-i\beta t/\hbar}\left|E_0+\beta\right\rangle + c_3 e^{i\beta t/\hbar}\left|E_{\rm{min}}\right\rangle \right]$$

从这个表达式里能看出两个核心演化特点：

• 孤立的第一能级：$\left|E_0+\alpha\right\rangle$这个本征态和另外两个态完全没有耦合（看哈密顿量的第一行/列就知道，只有对角元），所以如果初始态里$c_1\neq0$，这个分量只会随时间产生相位变化，不会和其他两个态发生概率转移，始终保持$|c_1|^2$的概率占比。
• 后两个能级的周期性振荡：$\left|E_0+\beta\right\rangle$和$\left|E_{\rm{min}}\right\rangle$的能量差是$2\beta$，这意味着它们之间会发生周期性的概率转移，振荡周期为$T = \pi\hbar/\beta$。比如如果初始态是这两个态的等权重叠加，那么在$t=T/2$时，两个态的概率会完全反转。

量子测量的关键是看不同可观测量的取值概率随时间的变化，这里分几种典型情况：

• 能量测量：能量是守恒量（哈密顿量不显含时间），所以测量得到$E_0+\alpha$的概率始终是$|c_1|^{2$，得到$E_0+\beta$的概率是$|c_2|}2$，得到$E_0-\beta$的概率是$|c_3|^2$——这三个概率都不会随时间变化。
• 单个能级粒子数测量：比如测量第二个或第三个能级的粒子数（对应投影算符$\left|2\right\rangle\left\langle2\right|$或$\left|3\right\rangle\left\langle3\right|$），概率会随时间振荡。以测量第二个能级的粒子数为例，把初始态用基矢$\left|1\right\rangle,\left|2\right\rangle,\left|3\right\rangle$展开后，演化态在$\left|2\right\rangle$上的分量会包含$\cos(2\beta t/\hbar)$或$\sin(2\beta t/\hbar)$的项，所以测量概率会以频率$2\beta/\hbar$做周期性振荡。
• 最低能量态的投影测量：如果直接测量系统是否处于$\left|E_{\rm{min}}\right\rangle$，得到“是”的概率是$|c_3|^2$，同样不随时间变化；但如果测量的是和这个态相关的叠加态（比如$\left|2\right\rangle+\left|3\right\rangle$这类），测量概率就会出现明显的时间振荡。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vincenzo Ventriglia