如何构造多项式矩阵的Smith McMillan形？附具体矩阵推导疑问

我们从有理矩阵$G(s)$出发，通过幺模行/列变换（即变换矩阵的行列式为非零常数）逐步化简，最终得到Smith-McMillan形$M(s)$。幺模变换的三种基本操作是：

• 交换两行/列
• 某一行/列乘以非零常数
• 某一行/列加上另一行/列乘以任意多项式

步骤1：明确目标与初始矩阵 #

原矩阵：
$$ G(s) = \begin{bmatrix} \frac{4}{(s+1)(s+2)} & \frac{-0.5}{s+1} \ \frac{1}{s+2} & \frac{2}{(s+1)(s+2)}\ \end{bmatrix} $$
记公分母$D=(s+1)(s+2)$，可将$G(s)$改写为$G(s) = D^{-1}P(s)$，其中多项式矩阵：
$$ P(s) = \begin{bmatrix} 4 & -0.5(s+2) \ s+1 & 2 \end{bmatrix} $$
我们的目标是找到幺模矩阵$\bar{L}(s)$和$\bar{R}(s)$，使得$\bar{L}(s)G(s)\bar{R}(s)$成为对角矩阵（Smith-McMillan形）。

步骤2：构造左幺模矩阵$\bar{L}(s)$ #

我们需要通过行变换消去$G(s)$第二行第一列的元素，并调整第一行第一列到目标形式：

1. 基础行变换铺垫：先将第一行乘以$\frac{1}{4}$，把第一行第一列的元素调整为$\frac{1}{D}$，对应左乘矩阵：
   $$ L_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} $$
   计算$L_1G(s)$：
   $$ L_1G(s) = \begin{bmatrix} \frac{1}{D} & \frac{-1}{8(s+1)} \ \frac{1}{s+2} & \frac{2}{D} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{D} & \frac{-(s+2)}{8D} \ \frac{s+1}{D} & \frac{2}{D} \end{bmatrix} $$

2. 合并行变换得到$\bar{L}(s)$：为了直接消去第二行第一列，并让第二行第二列直接得到目标的$\frac{s^2+3s+18}{D}$，我们设计行变换：第二行 = $-2(s+1) \times$ 原第一行 $+ 8 \times$ 原第二行。
   验证效果：

   • 第二行第一列：$-2(s+1) \times \frac{4}{D} + 8 \times \frac{1}{s+2} = \frac{-8(s+1)}{D} + \frac{8(s+1)}{D} = 0$（因为$\frac{1}{s+2}=\frac{s+1}{D}$）
   • 第二行第二列：$-2(s+1) \times \frac{-0.5}{s+1} + 8 \times \frac{2}{D} = 1 + \frac{16}{D} = \frac{(s+1)(s+2)+16}{D} = \frac{s^2+3s+18}{D}$

   这个合并后的行变换对应的左矩阵就是给定的$\bar{L}(s)$：
   $$ \bar{L}(s) = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0\ -2(s+1) & 8\ \end{bmatrix} $$
   验证其行列式：$\det(\bar{L}(s)) = \frac{1}{4} \times 8 - 0 \times (-2(s+1)) = 2$，是一个非零常数，符合幺模矩阵的定义。

步骤3：构造右幺模矩阵$\bar{R}(s)$ #

现在$\bar{L}(s)G(s)$的形式为：
$$ \bar{L}(s)G(s) = \begin{bmatrix} \frac{1}{D} & \frac{-(s+2)}{8D} \ 0 & \frac{s^2+3s+18}{D} \end{bmatrix} $$
我们需要通过列变换消去第一行第二列的元素：

• 执行列变换：第二列加上第一列的$\frac{s+2}{8}$倍，对应右乘矩阵：
  $$ \bar{R}(s) = \begin{bmatrix} 1 & \frac{s+2}{8}\ 0 & 1\ \end{bmatrix} $$
  验证其行列式：$\det(\bar{R}(s)) = 1 \times 1 - 0 \times \frac{s+2}{8} = 1$，显然是幺模矩阵。

  计算$\bar{L}(s)G(s)\bar{R}(s)$：

  • 第一行第二列：$\frac{1}{D} \times \frac{s+2}{8} + \frac{-(s+2)}{8D} \times 1 = 0$
  • 其余元素保持不变，最终得到目标对角矩阵：
    $$ M(s) = \begin{bmatrix} \frac{1}{(s+1)(s+2)} & 0\ 0 & \frac{s^2+3s+18}{(s+1)(s+2)}\ \end{bmatrix} $$

关键总结 #

• 幺模矩阵的核心是行列式为非零常数，因此允许行/列乘以非零常数，以及多项式倍的行/列加法。
• 构造过程中，先通过行变换消去下三角元素，再通过列变换消去上三角元素，逐步将矩阵化为对角形。
• 给定的$\bar{L}(s)$是将两次行变换合并后的结果，同时调整了第二行的系数，让最终的对角元直接符合目标形式，避免了后续的常数缩放。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Guilan Lim