非减càdlàg函数的逐点极限是否仍为càdlàg？需额外假设吗？

首先直接给结论：不是。非减Càdlàg函数的逐点极限不一定属于Càdlàg函数类，我给你构造一个简单的反例就能看明白：

• 定义序列 ( f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) 如下：
  • 当 ( x < 1 ) 时，( f_n(x) = 0 )；
  • 当 ( 1 \leq x < 1 + \frac{1}{n} ) 时，( f_n(x) = 0.5 + 0.5n(x - 1) )；
  • 当 ( x \geq 1 + \frac{1}{n} ) 时，( f_n(x) = 1 )。

每个 ( f_n ) 都是非减的Càdlàg函数——右连续，而且每个点的左极限都存在。现在看它的逐点极限 ( f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) )：

• ( x < 1 ) 时，( f(x) = 0 )；
• ( x = 1 ) 时，( f(x) = 0.5 )；
• ( x > 1 ) 时，( f(x) = 1 )。

这个 ( f ) 是非减函数，左极限处处存在，但在 ( x=1 ) 处，右极限 ( f(1^+) = 1 )，和函数值 ( f(1)=0.5 ) 不相等，不满足右连续，所以它不属于Càdlàg函数类。

接下来聊聊要让极限函数满足Càdlàg性质，我们可以给原序列加哪些常见假设：

• 局部一致收敛：如果 ( f_n ) 在定义域的每个紧子集上都一致收敛到 ( f )，那一致收敛会“继承”右连续性——毕竟每个 ( f_n ) 都是右连续的，一致收敛的极限函数也会保持这个特性。再加上非减函数天然保证左极限处处存在，这样 ( f ) 就妥妥是Càdlàg函数了。
• 等度右连续+紧集一致有界：说白了就是所有 ( f_n ) 的右连续“步调”要一致：对任意点 ( x ) 和任意小的 ( \epsilon>0 )，能找到一个统一的 ( \delta>0 )，只要 ( y ) 落在 ( (x, x+\delta) ) 里，所有 ( f_n(y) - f_n(x) ) 都小于 ( \epsilon )；同时在每个紧集上，所有 ( f_n ) 的取值都有共同的上界和下界。满足这两个条件的话，逐点极限 ( f ) 会是右连续的，结合非减性的左极限存在性，就能得到Càdlàg性质。
• 点处收敛匹配右极限：如果对每个点 ( x )，( f_n(x) ) 收敛到 ( f(x) ) 的同时，( f_n ) 在 ( x ) 处的右极限（因为 ( f_n ) 是Càdlàg，所以右极限就是 ( f_n(x) ) 本身）也收敛到 ( f(x) )，那就能保证 ( f ) 在 ( x ) 处的右极限等于 ( f(x) )，从而满足右连续。这个条件比一致收敛弱，但足够达到我们想要的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alex Med