数值计算中初等矩阵的表示：如何用u、v实现所有初等行变换？

这个问题问得很到位！咱们先从初等矩阵的本质和秩1修正的逻辑说起，再逐一对应三种初等行变换找到对应的u和v。

为什么这个定义成立？ #

首先，初等矩阵是对单位矩阵执行一次初等行变换得到的矩阵。而所有初等行变换带来的单位矩阵的修改，都可以等价于加上一个秩1矩阵（也就是uv^T的形式，因为向量外积的秩最多是1）。这种表示的核心优势在于：只需要存储两个n维向量u和v，就能替代存储整个n×n的初等矩阵，大大节省存储空间；同时秩1修正矩阵还有很多便于计算的性质（比如行列式、逆矩阵的快速推导）。

接下来我们逐一对应三种初等行变换，找到对应的u和v：

1. 倍加变换：将第j行的k倍加到第i行（i≠j） #

这是最常见的初等行变换，对应的初等矩阵是把单位矩阵的第(i,j)位置改成k。我们可以把它拆成：

E = I + k e_i e_j^T

其中e_i是标准单位向量（第i个分量为1，其余全为0），e_j同理。

• 对应的u和v：u = k e_i，v = e_j
• 验证：uv^T = k e_i e_j^T，这是一个只有第(i,j)位置为k，其余全为0的矩阵，加在单位矩阵I上正好得到倍加变换的初等矩阵。

例子：n=3，把第2行的2倍加到第1行，对应的E是：

[1 2 0]
[0 1 0]
[0 0 1]

取u=[2, 0, 0]^T，v=[0, 1, 0]^T，uv^T就是：

[0 2 0]
[0 0 0]
[0 0 0]

I加上这个矩阵正好等于E，完全正确。

2. 数乘变换：将第i行乘以非零常数c #

这种变换是把单位矩阵的第(i,i)位置改成c，其余不变。我们可以写成：

E = I + (c-1) e_i e_i^T

• 对应的u和v：u = (c-1) e_i，v = e_i
• 验证：uv^T = (c-1) e_i e_i^T，这是一个只有第(i,i)位置为c-1的矩阵，加在I上后，第(i,i)位置变为1+(c-1)=c，正好是数乘变换的初等矩阵。

例子：n=3，第2行乘5，对应的E是：

[1 0 0]
[0 5 0]
[0 0 1]

取u=[0, 4, 0]^T，v=[0, 1, 0]^T，uv^T就是：

[0 0 0]
[0 4 0]
[0 0 0]

I加上这个矩阵等于E，符合要求。

3. 交换变换：交换第i行和第j行（i≠j） #

交换两行的初等矩阵是置换矩阵，看起来结构特殊，但其实也可以表示为I加上一个秩1矩阵：

E = I + (e_i - e_j)(e_j^T - e_i^T)

展开后可以看到，这个秩1矩阵会把I的第(i,i)和(j,j)位置的1抵消，同时在(i,j)和(j,i)位置补上1，正好实现两行交换。

• 对应的u和v：u = e_i - e_j，v = e_j - e_i
• 验证：uv^T = (e_i - e_j)(e_j^T - e_i^T)，展开后是e_i e_j^T - e_i e_i^T - e_j e_j^T + e_j e_i^T，加在I上就得到交换两行的矩阵。

例子：n=2，交换第1和2行，对应的E是：

[0 1]
[1 0]

取u=[1, -1]^T，v=[-1, 1]^T，uv^T就是：

[-1 1]
[1 -1]

I加上这个矩阵等于[[1-1, 0+1], [0+1, 1-1]] = [[0,1],[1,0]]，完全正确。

额外补充：秩1修正矩阵的实用性质 #

这种表示方法不止是节省空间，还有很多好用的计算性质：

• 行列式：det(I + uv^T) = 1 + v^T u（标量点积），比直接计算n×n矩阵行列式快得多。
• 逆矩阵：当1 + v^T u ≠ 0时，(I + uv^T)^{-1} = I - (uv^T)/(1 + v^T u)，这个公式推导和计算都很方便。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ted