局部环同态f:(A,𝔭)→(B,𝔮)：Ω^1_{B/A}=0时证𝔮=𝔭B的条件疑问

首先咱们来拆解这个问题：给定局部环同态 $f\colon (A,\mathfrak{p})\longrightarrow (B,\mathfrak{q})$，当 $\Omega^1_{B/A}=0$ 时，要验证 $\mathfrak{q}=\mathfrak{p}B$，同时聊聊所需的附加条件。

核心结论与证明思路 #

当 $B$ 是 $A$-代数有限型（finite type）时，结论成立；而 $f$ 完全不需要是单射。

具体证明步骤： #

1. 先构造商环 $C = B/\mathfrak{p}B$：这是个局部环，极大理想为 $\mathfrak{m} = \mathfrak{q}/\mathfrak{p}B$，余留域是 $k(\mathfrak{q}) = B/\mathfrak{q}$，且 $C$ 是 $k(\mathfrak{p}) = A/\mathfrak{p}$ 上的代数。
2. 利用Kähler微分的基变换性质：因为 $\Omega^1_{B/A}=0$，所以 $\Omega^1_{C/k(\mathfrak{p})} = \Omega^1_{B/A}\otimes_B C = 0$。
3. 结合Nakayama引理推导：
   • 回忆Kähler微分的余留域正合序列：$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \to \Omega^1_{C/k(\mathfrak{p})}\otimes_C k(\mathfrak{q}) \to \Omega^1_{k(\mathfrak{q})/k(\mathfrak{p})} \to 0$。
   • 由于 $\Omega^1_{C/k(\mathfrak{p})}=0$，直接推出 $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=0$。根据Nakayama引理，$\mathfrak{m}$ 是有限生成 $C$-模且满足 $\mathfrak{m}^2=\mathfrak{m}$，所以 $\mathfrak{m}=0$，也就是 $\mathfrak{q}/\mathfrak{p}B=0$，最终得到 $\mathfrak{q}=\mathfrak{p}B$。

附加条件的讨论 #

• 是否需要 $B$ 在 $A$ 上有限生成？
  需要（至少有限型）。这里有个反例：取 $A=k[[t]]$（极大理想 $\mathfrak{p}=(t)$），$B=k[[t^{1/p}, t^{1/p2}, \dots]]$（$A$ 的无限纯不可分完满扩张），$f:A\to B$ 为包含映射。此时 $\Omega^1_{B/A}=0$（所有生成元的微分都是0），但 $\mathfrak{q}=(t^{1/p}, t^{1/p2}, \dots) \neq \mathfrak{p}B=(t)B$，因为 $t^{1/p}$ 根本不在 $(t)B$ 里。

• 是否需要 $f$ 为单射？
  完全不需要。举两个简单例子：

  • 例1：$A=k[[x,y]]$（极大理想 $\mathfrak{p}=(x,y)$），$B=k[[x]]$（极大理想 $\mathfrak{q}=(x)$），$f:A\to B$ 把 $y$ 映射到0。此时 $\Omega^1_{B/A}=0$，且 $\mathfrak{p}B=(x,y)B=(x)=\mathfrak{q}$。
  • 例2：$A=k[[t]]$（极大理想 $\mathfrak{p}=(t)$），$B=k[[t]]/(t^2)$（极大理想 $\mathfrak{q}=(t)/(t^2)$），$f:A\to B$ 为自然投影。此时 $\Omega^1_{B/A}=0$，且 $\mathfrak{p}B=(t)B=(t)/(t^2)=\mathfrak{q}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vincenzo Zaccaro