两个求和式对π²/6的逼近效果对比及严谨证明方法咨询

这真是个有意思的发现！我来帮你严谨证明为什么第二个求和式的表现更好～

首先，我们得明确：$\frac{\pi^2}{6}$其实就是黎曼ζ函数在2处的值，它的精确表达式是无穷级数：
$$\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$

分析第一个求和式的误差 #

第一个求和式是：
$$S_1 = \sum_{n=1}^{1000000} \frac{1}{n^2}$$
它和$\frac{\pi^2}{6}$的误差是无穷级数的余项：
$$R_1 = \zeta(2) - S_1 = \sum_{n=1000001}^\infty \frac{1}{n^2}$$

因为$\frac{1}{n^2}$是单调递减函数，我们可以用积分来估计这个误差的上界：
$$\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n^2} < \int_N^\infty \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{N}$$
代入$N=1000000$，得到$R_1 < 10^{{-6}$，实际误差会比这个值略小，但量级是$10}{-6}$。

分析第二个求和式的误差（关键：裂项相消） #

第二个求和式是：
$$T = 1 + \sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2(n+1)}$$

我们先对通项做裂项分解，这是破解这个问题的核心技巧：
$$\frac{1}{n^2(n+1)} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n(n+1)}$$
再把$\frac{1}{n(n+1)}$拆成望远镜项：
$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$
所以最终的裂项结果是：
$$\frac{1}{n^2(n+1)} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}$$

把这个分解代入求和式：
$$\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2(n+1)} = \sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2} - \sum_{n=1}^{1000} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$

后面的望远镜求和会抵消掉中间所有项：
$$\sum_{n=1}^{1000} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{1}{1001}$$

现在把这个结果代回$T$的表达式，化简后得到：
$$
\begin{align*}
T &= 1 + \sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2} - \left(1 - \frac{1}{1001}\right) \
&= \sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2} + \frac{1}{1001}
\end{align*}
$$

接下来计算$T$和$\frac{\pi^2}{6}$的误差$R_2$：
$$
\begin{align*}
R_2 &= \zeta(2) - T \
&= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} - \sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{1001} \
&= \sum_{n=1001}^\infty \frac{1}{n^2} - \frac{1}{1001}
\end{align*}
$$

我们再把这个误差转化为更容易估计的形式：利用之前的裂项关系，$\sum_{n=1001}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1001} + \sum_{n=1001}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$，所以：
$$R_2 = \sum_{n=1001}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$$

现在估计$R_2$的上界：因为$\frac{1}{n^2(n+1)} < \frac{1}{n^3}$，所以：
$$R_2 < \sum_{n=1001}^\infty \frac{1}{n^3} < \int_{1000}^\infty \frac{1}{x^3} dx = \frac{1}{2 \times 1000^2} = 5 \times 10^{-7}$$

对比两个误差 #

现在我们可以清晰看到：

• 第一个求和式的误差$R_1$量级是$10^{-6}$
• 第二个求和式的误差$R_2$量级是$5 \times 10^{-7}$，比$R_1$小了一半还多

而且实际计算中，$R_2$的真实值会比这个上界更小，这就完美解释了为什么你的MATLAB测试会发现第二个求和式的逼近效果更好！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DMH16