构造根为$f(x)$反函数的$g(x)$是什么？该概念/函数称为何名？

咱们结合你用Maple的场景，一步步把这两个问题说清楚：

1. 构造根为解析函数$f(x)$反函数的函数$g(x)$是什么？ #

首先明确逻辑：解析函数$f(x)$的反函数$f^{{-1}(z)$的定义，就是满足$f(x)=z$的$x$值。如果要找一个函数$g(x)$，使得解$g(t)=0$能得到$f}{-1}(t)$，本质上这就是反函数的隐式表达式。

具体来说，把反函数的定义式$f(f^{{-1}(t))=t$重新整理，把$f}{-1}(t)$当作未知量，就能得到对应的方程。放在你用Maple的场景里：当你用solve处理$f(x)$得到$g(x)$，并且它被包在RootOf命令里时，这个$g(x)$就是把$f(y)=x$（把$y$当作未知量）整理后的式子。举个例子，如果$f(x)=x^{2+3x$，那解$f(y)=x$就会得到$y}2+3y-x=0$——这个关于$y$的二次式就是你要的$g(y)$，而RootOf(g(y), y)直接就代表$f^{-1}(x)$。

总结一下：$g(t)$是将$f(y)=t$整理成关于$y$的解析方程（比如多项式方程）后得到的函数，解$g(y)=0$的根就恰好是$f^{-1}(t)$。

2. 那个根与$f(x)$重合、极值点重合且可作为反函数的"代理函数"叫什么？ #

先纠正一个小细节：常规的反函数$f^{{-1}(x)$其实不会和$f(x)$共享根和极值点——比如$f(x)$的根是满足$f(a)=0$的$a$，而$f}{-1}(x)$的根是满足$f^{-1}(t)=0$的$t$，也就是$t=f(0)$，只有当$f(0)=0$时两者根才重合；反函数的极值点对应$f(x)$极值点的函数值，而非同一个$x$坐标，除非$f(x)$是自反函数（对合函数）——也就是自己是自己的反函数，比如$f(x)=1/x$、$f(x)=c-x$这类，此时$f(f(x))=x$，自然和自己共享所有根和极值点。

结合你说的用Maple推导、通过RootOf得到反函数的场景，如果你说的"代理函数"是指能表示反函数、同时又和原函数$f(x)$共享根与极值点的情况，那它大概率是自反函数（对合函数）；如果只是指那个能通过求根得到反函数的隐式表达式，那准确的名称是反函数的隐式定义方程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者crow