验证二元函数f(x,y)=√(1+x+y)在点(1,0)处的泰勒展开推导

咱们直接说结论：原推导存在两处关键错误，下面一步步拆解问题并给出正确的展开过程：

错误1：一阶偏导数符号完全写错 #

原函数$f(x,y)=\sqrt{1+x+y}=(1+x+y)^{1/2}$，根据链式法则求一阶偏导：
$$f'_x = \frac{d}{dx}(1+x+y)^{1/2} = \frac{1}{2}(1+x+y)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{1+x+y}}$$
同理$f'_y = \frac{1}{2\sqrt{1+x+y}}$，都是正的，但原推导里写成了负号，这是最基础的计算错误。

错误2：误用了驻点的泰勒展开式 #

原教材给出的展开式是针对驻点（一阶偏导为0的点）的形式，但咱们看$(1,0)$处的一阶偏导：
$$f'_x(1,0)=\frac{1}{2\sqrt{2}} \neq 0, \quad f'y(1,0)=\frac{1}{2\sqrt{2}} \neq 0$$
这个点根本不是驻点，所以不能跳过一阶项直接用那个带余项的展开式。二元函数带佩亚诺余项的二阶泰勒展开的完整形式应该包含一阶项：
$$f(a+h,b+k) = f(a,b) + f'x(a,b)h + f'y(a,b)k + \frac{1}{2!}\left(f''{xx}(a,b)h^2 + 2f''{xy}(a,b)hk + f''{yy}(a,b)k^2\right) + o(h^2 + k^2)$$

正确的展开过程 #

咱们重新计算各阶导数在$(1,0)$处的值：

• $f(1,0)=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}$（这部分原推导是对的）
• 一阶偏导：$f'_x(1,0)=f'_y(1,0)=\frac{1}{2\sqrt{2}}$
• 二阶偏导：$f''{xx}=f''{xy}=f''{yy}=-\frac{1}{4(1+x+y)^{3/2}}$，代入$(1,0)$得：
  $$f''{xx}(1,0)=f''{xy}(1,0)=f''{yy}(1,0)=-\frac{1}{4\times2^{3/2}}=-\frac{1}{8\sqrt{2}}$$（这部分数值计算是对的，符号也没问题）

把这些代入完整的泰勒展开式：
$$
\begin{align*}
f(1+h,0+k) &= \sqrt{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}}h + \frac{1}{2\sqrt{2}}k + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{8\sqrt{2}}h^2 + 2\times(-\frac{1}{8\sqrt{2}})hk + (-\frac{1}{8\sqrt{2}})k^2\right) + o(h^2 + k^2) \
&= \sqrt{2} + \frac{h+k}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{16\sqrt{2}}(h^2 + 2hk + k^2) + o(h^2 + k^2) \
&= \sqrt{2} + \frac{h+k}{2\sqrt{2}} - \frac{(h+k)^2}{16\sqrt{2}} + o(h^2 + k^2)
\end{align*}
$$

另外补充一下：原推导里的余项$(h^2+k2)^{{3/2}B(h,k)$其实和标准的佩亚诺余项$o(h}2 + k^{2)$是等价的，因为$(h}2+k²⁾{3/2}$是比$h^2 + k^2$高阶的无穷小，这部分的写法是没问题的，只是前面的一阶项缺失和符号错误是核心问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Parseval