实分析微分问题：证明存在c∈ℝ使f''(c)=0

问题背景 #

设函数 $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ 二阶可导，满足 $\lim\limits_{x \to \infty}f'(x) = \lim\limits_{x \to -\infty}f'(x) = A$，需证明存在 $c \in \mathbb{R}$ 使得 $f''(c) = 0$。

你的思路分析 #

你提出的反证法思路非常靠谱：假设对所有 $c \in \mathbb{R}$，$f''(c) \neq 0$，进而推导矛盾。核心疑问是：从“$f''(x)$ 恒不为0”能否推出 $f'(x)$ 单调？

严谨推导与结论 #

答案是肯定的，这里需要用到导函数的核心性质——达布定理（Darboux定理）：导函数具有介值性，即如果一个函数是某个函数的导数，那么它不会跳过任何中间值。具体推导如下：

1. 若 $f''(x)$ 恒不为0，根据达布定理，$f''(x)$ 必然恒正或恒负。否则，若存在 $x_1 < x_2$ 使得 $f''(x_1)$ 与 $f''(x_2)$ 异号，介值性会保证存在某点介于 $x_1$ 和 $x_2$ 之间，使得 $f''(x)=0$，与假设矛盾。
2. 当 $f''(x)$ 恒正时，$f'(x)$ 是严格递增函数；当 $f''(x)$ 恒负时，$f'(x)$ 是严格递减函数。
3. 结合题设的极限条件推导矛盾：
   • 若 $f'(x)$ 严格递增：$\lim\limits_{x \to -\infty}f'(x)=A$ 意味着所有 $f'(x) > A$（严格递增函数的下界是负无穷处的极限）；但 $\lim\limits_{x \to +\infty}f'(x)=A$ 又意味着所有 $f'(x) < A$（严格递增函数的上界是正无穷处的极限），矛盾。
   • 若 $f'(x)$ 严格递减：同理，$\lim\limits_{x \to -\infty}f'(x)=A$ 意味着所有 $f'(x) < A$，而 $\lim\limits_{x \to +\infty}f'(x)=A$ 意味着所有 $f'(x) > A$，矛盾。

因此原假设不成立，必然存在 $c \in \mathbb{R}$ 使得 $f''(c)=0$。

你的思路完全可行，只需要通过达布定理把“$f''$ 恒不为0推出 $f'$ 单调”的逻辑补严谨即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lucas