证明带滤子的群赋予关联拓扑后为拓扑群：先证乘法连续性

嘿，我来一步步帮你捋清楚这个证明的思路，尤其是你关注的乘法映射连续性部分～

首先先明确一下背景：

设$G$是一个带有滤子的群：$$G=G_0\supset G_1\supset G_2\supset\cdots$$其中每个$G_i$都是$G$的正规子群。我们给$G$赋予的拓扑，是以所有$G_i$的陪集$aG_i$（$a\in G$，$i\geq0$）作为基本开集的。要证明$G$是拓扑群，核心就是验证两个映射的连续性：乘法映射$\mu:G\times G\to G$（$\mu(x,y)=xy$）和逆映射$\iota:G\to G$（$\iota(x)=x^{-1}$）。你现在先聚焦在乘法映射上，那咱就从这儿入手。

一、乘法映射$\mu$的连续性验证 #

拓扑里证明映射连续，最直接的方式就是：对目标空间里的任意开集，它在映射下的原像都是原空间里的开集。而因为我们的拓扑是由基本开集生成的，所以只需要验证对任意基本开集$aG_i$，$\mu^{-1}(aG_i)$是$G\times G$中的开集就够了。

首先先写出$\mu^{-1}(aG_i)$的具体形式：
$$\mu^{-1}(aG_i) = {(x,y)\in G\times G \mid xy \in aG_i}$$
翻译成人话就是：所有满足“乘积落在$a$的$G_i$陪集里”的$(x,y)$对。

接下来关键的一步：对这个集合里的任意一点$(x,y)$，我们要找到$G\times G$中的一个基本开集（也就是形如$xG_j \times yG_j$的集合，$j$是某个正整数），使得这个开集完全包含在$\mu^{-1}(aG_i)$里——只要每个点都能找到这样的“邻域”，那这个原像就是开集了。

那选$j=i$行不行？咱来验证一下：
取任意$x'\in xG_i$，$y'\in yG_i$，那$x' = x g_1$，$y' = y g_2$，其中$g_1,g_2\in G_i$。计算它们的乘积：
$$x'y' = x g_1 y g_2 = xy \cdot (y^{-1} g_1 y) \cdot g_2$$
因为$G_i$是正规子群，所以$y^{-1}g_1 y$肯定也在$G_i$里，而$G_i$是子群，两个$G_i$里的元素相乘还是在$G_i$里，所以$(y^{-1}g_1 y)g_2 \in G_i$。
又因为$(x,y)$在$\mu^{-1}(aG_i)$里，所以$xy \in aG_i$，那$xy \cdot G_i = aG_i \cdot G_i = aG_i$（子群自身相乘还是自身），所以$x'y' \in aG_i$。

这就说明，$xG_i \times yG_i$里的所有点都满足乘积落在$aG_i$里，也就是$xG_i \times yG_i \subset \mu^{{-1}(aG_i)$。而$\mu}{-1}(aG_i)$就是所有这样的基本开集的并集，所以它是$G\times G$中的开集，乘法映射的连续性就搞定了！

二、顺便补个逆映射的连续性（拓扑群要求的） #

既然要证明是拓扑群，逆映射的连续性也不能落下，这个其实更简单：
对任意基本开集$aG_i$，它在逆映射下的原像是：
$$\iota^{-1}(aG_i) = {x\in G \mid x^{-1}\in aG_i}$$
而$(aG_i)^{-1} = G_i a^{-1}$，又因为$G_i$是正规子群，左陪集等于右陪集，所以$G_i a^{-1} = a^{{-1}G_i$——这本身就是一个基本开集！所以$\iota}{-1}(aG_i)$是开集，逆映射连续。

这样一来，乘法和逆映射都连续，$G$在这个滤子拓扑下就确实是拓扑群啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Skies burn