关于$rak{so}(n)$李代数不可约有限维模的维数唯一性及$rak{o}(n)$模自对偶性的技术问询

咱们来一步步拆解这两个问题：

1. $\mathfrak{so}(n)$的不可约有限维模是否由维数唯一确定？ #

答案是不一定，得看n的取值：

• 当n=3时，$\mathfrak{so}(3)$和$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$同构，它的不可约有限维模维数都是奇数：1,3,5,...，每个维数对应且仅对应一个不可约模，这时候维数确实能唯一锁定不可约模。
• 但n≥4时，就会出现维数相同但不同构的不可约模。最典型的例子是n=4：$\mathfrak{so}(4)$同构于$\mathfrak{so}(3)\oplus\mathfrak{so}(3)$，它的不可约模是两个$\mathfrak{so}(3)$不可约模的张量积。拿$\mathfrak{so}(3)$的3维不可约模$V_1$来说，$(V_1,0)$和$(0,V_1)$都是$\mathfrak{so}(4)$的3维不可约模，但它们显然不同构——一个在第一个$\mathfrak{so}(3)$分支上非平凡作用，另一个在第二个分支上作用，完全是两回事。
  再比如n=6，$\mathfrak{so}(6)\cong\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$，这里也存在维数相同但不同构的不可约模，不过n=4的例子已经足够直观了。

2. 若问题1的结论成立，能否推出$\mathfrak{o}(n)$的所有有限维模都是自对偶的？ #

首先得明确：$\mathfrak{o}(n)$作为李代数其实就是$\mathfrak{so}(n)$（因为正交群O(n)和它的单位分支SO(n)共享同一个李代数，都是n阶反对称实矩阵构成的集合），不过有时候也会把$\mathfrak{o}(n)$的模理解为群O(n)的表示，我两种情况都说明白：

李代数$\mathfrak{o}(n)=\mathfrak{so}(n)$的场景 #

如果$\mathfrak{so}(n)$的不可约模由维数唯一确定，那对任意不可约模$V$，它的对偶模$V^$也是不可约的，而且$\dim V^=\dim V$。根据假设，$V^*$必须和$V$同构——毕竟维数相同的不可约模只有它自己。这就意味着每个不可约模都是自对偶的。而有限维模都是不可约模的直和，直和的对偶就是对偶的直和，所以所有有限维模自然都是自对偶的。

群O(n)的表示场景 #

O(n)的表示分两类：一类是限制到SO(n)上仍不可约的，另一类是SO(n)的不可约表示乘以行列式表示$\det$得到的“扭转”表示。如果$\mathfrak{so}(n)$的不可约模由维数唯一确定：

• 对于SO(n)的不可约表示$V$，它的对偶$V^*$作为SO(n)的表示和$V$同构（因为假设下$V$自对偶），而O(n)作用下，我们可以找到O(n)不变的内积，所以$V$作为O(n)的表示也是自对偶的。
• 对于扭转表示$V\otimes\det$，它的对偶是$(V\otimes\det)^\cong V^*\otimes\det$，而$\det^{*=\det$（行列式表示是自对偶的），$V}\cong V$，所以$(V\otimes\det)^\cong V\otimes\det$，也就是这个扭转表示也是自对偶的。
  所以O(n)的所有不可约表示都是自对偶的，进而所有有限维表示都是自对偶的。

不过要强调：这个推论的前提是问题1的结论成立，也就是只有像n=3这种情况，$\mathfrak{so}(n)$的不可约模维数唯一时，这个推导才有效。对于n≥4的情况，问题1本身不成立，这个推论也就没法谈了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alesandro Levi