扑克筹码堆叠等价计数问题：翻转视为相同的求解问询

嘿，这两个问题其实都可以用Burnside引理来解决——这是计数等价类的经典工具，专门处理这种“翻转后算同一个”的对称情况。咱们一个一个来拆解：

首先明确：这里的“堆叠方式”默认指每个筹码可以有不同的颜色（或状态），翻转后相同的视为同一类。我们只需要考虑两种对称操作：

• 恒等操作：什么都不做，所有可能的堆叠都是这个操作的不动点
• 翻转操作：把整个堆叠倒过来，只有对称的堆叠才会在翻转后和自己重合（也就是第i个筹码和第n+1-i个筹码状态完全相同，n是总筹码数）

假设每个筹码有m种颜色可选，总共有n个筹码：

• 当n是偶数时：
  恒等操作的不动点数量是 m^n（每个位置有m种选择）
  翻转操作的不动点数量是 m^(n/2)（每一对对称位置必须状态相同，共n/2对独立选择）
  最终等价类总数为：(m^n + m^(n/2)) / 2
• 当n是奇数时：
  恒等操作的不动点还是 m^n
  翻转操作的不动点是 m^((n+1)/2)（中间的筹码可以任意选，剩下的(n-1)/2对对称位置状态相同）
  最终等价类总数为：(m^n + m^((n+1)/2)) / 2

如果所有筹码都相同（m=1），那不管n是多少，等价类都只有1个，这也符合直觉。

你已经知道不考虑翻转时的排列数是C(10,6)=210，现在要合并翻转后相同的堆叠，继续用Burnside引理一步步来：

• 第一步：计算恒等操作的不动点
  就是所有可能的排列，也就是你提到的C(10,6)=210，这个没问题。

• 第二步：计算翻转操作的不动点
  翻转后和原堆叠相同的堆叠必须是对称的：第1个和第10个颜色一致，第2个和第9个一致，……，第5个和第6个一致，总共5对对称位置。
  我们需要总红色筹码是6个，每一对红色对称位会贡献2个红筹码，设红色对称位有x个，那么2x=6，解得x=3。也就是说，我们要从5对里选3对设为红色，剩下2对白。
  所以翻转操作的不动点数量是C(5,3)=10。

• 第三步：计算等价类总数
  根据Burnside引理，等价类数目等于所有操作的不动点数量的平均值，也就是：
  (210 + 10) / 2 = 110

换个通俗的说法：所有排列里，对称的那些每个自己就是一类；非对称的排列，每两个翻转后相同的会合并成一类。所以总数就是（总排列数 + 对称排列数）除以2，和我们的计算结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shuryu Kisuke