请求指导求解微分方程yy'' + (y')² = (y')³的方法

我来一步步拆解这个微分方程的求解过程，你之前用$u=y'$换元没得到目标解，大概率是没处理好$y''$的转化——咱们从方程的结构特点入手，会顺畅很多！

首先观察方程左边的项：$yy'' + (y')^2$，这其实是乘积的导数，刚好对应$\frac{d}{dx}(yy')$，因为根据乘积求导法则：
$$\frac{d}{dx}(yy') = y'\cdot y' + y\cdot y'' = (y')^2 + yy''$$

所以原方程可以直接改写为：
$$\frac{d}{dx}(yy') = (y')^3$$

接下来我们分两种核心情况讨论：

情况1：$y' = 0$ #

此时$y$是常数（设为$y=K$，$K$为任意常数），代入原方程验证：左边$K\cdot0 + 0^{2=0$，右边$0}3=0$，等式成立。因此**常数解$y=K$**是方程的解之一。

情况2：$y' \neq 0$ #

这时候我们用换元法，但要注意把$y$作为自变量来处理$y''$：
令$u = y' = \frac{dy}{dx}$，那么二阶导数$y''$可以转化为对$y$的导数：
$$y'' = \frac{d}{dx}(u) = \frac{du}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} = u\frac{du}{dy}$$

把$y'=u$和$y''=u\frac{du}{dy}$代入原方程，得到：
$$y\cdot u\frac{du}{dy} + u^2 = u^3$$

因为$u \neq 0$，两边同时除以$u$化简：
$$y\frac{du}{dy} + u = u^2$$

这是一个可分离变量的微分方程，移项整理后：
$$y\frac{du}{dy} = u^2 - u$$
$$\frac{du}{u(u-1)} = \frac{dy}{y}$$

步骤1：积分求解$u$ #

对左边的分式做部分分式分解：
$$\frac{1}{u(u-1)} = \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}$$

两边同时积分：
$$\int \left( \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u} \right) du = \int \frac{dy}{y}$$

计算积分结果（$\ln|C_1|$为积分常数，$C_1 \neq 0$）：
$$\ln|u-1| - \ln|u| = \ln|y| + \ln|C_1|$$

利用对数性质合并等式两边：
$$\ln\left| \frac{u-1}{u} \right| = \ln\left| C_1 y \right|$$

去掉对数符号（两边取指数），得到：
$$\frac{u-1}{u} = C_1 y$$

整理后解出$u$：
$$1 - \frac{1}{u} = C_1 y$$
$$\frac{1}{u} = 1 - C_1 y$$
$$u = \frac{1}{1 - C_1 y}$$

步骤2：回代$u=\frac{dy}{dx}$求解$y(x)$ #

因为$u = \frac{dy}{dx}$，所以：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - C_1 y}$$

再次分离变量：
$$(1 - C_1 y) dy = dx$$

两边积分：
$$\int (1 - C_1 y) dy = \int dx$$

计算积分（$C_2$为积分常数）：
$$y - \frac{C_1}{2} y^2 = x + C_2$$

最后调整常数符号，令$C = \frac{C_1}{2}$，$D = -C_2$，移项后就得到你提到的目标解：
$$C y^2 - x + y = D$$

这里补充说明：当$C=0$时，解为$y = x + D$，代入原方程验证也是成立的；而情况1的常数解$y=K$可以看作是特殊情况（当$y'=0$时的独立解）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Igor