梯度为零时切平面是否存在？多元函数在指定点的技术问询

嘿，先纠正一个小计算错误哦——你对z的偏导数算错啦！原函数是$f(x,y,z)=xz+2y^2z2$，对z求偏导的时候，第一项$xz$的偏导是$x$，第二项$2y^2z2$的偏导是$4y^2z$，所以正确的$\frac{\partial f}{\partial z}=x+4y^2z$。代入点$(-1,1,0)$的话，结果是$-1 + 41^20 = -1$，并不是0。所以梯度$\nabla f(-1,1,0)=(0,0,-1)$，并不是全零向量~

先解决你的核心问题：当前点的切平面怎么求 #

我们通常说的“函数在某点的切平面”，其实指的是该函数的等值面（也就是满足$f(x,y,z)=f(x_0,y_0,z_0)$的所有点构成的曲面）在该点的切平面。对于光滑曲面来说，切平面的公式是：
$$\nabla f(x_0,y_0,z_0) \cdot (x-x_0, y-y_0, z-z_0) = 0$$

把我们算出来的梯度和点代入：
$$0*(x + 1) + 0*(y - 1) + (-1)*(z - 0) = 0$$

化简后就得到切平面方程：$z=0$。

顺便聊聊你提到的“梯度为零”的情况 #

如果真的遇到某点梯度全为零的情况（也就是临界点），常规的切平面公式会变成$0=0$，这说明这个公式没法直接给出唯一的切平面，但不代表切平面不存在：

• 如果函数在该点附近的二阶导数非退化，那函数局部近似为二次型，曲面的形态会比较复杂（比如鞍点附近），这时候没有像常规光滑点那样的唯一切平面；
• 如果函数在该点附近恒等于常数，那任何平面都可以被看作是“切平面”，不过这种情况非常少见。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anthony