基于局部凸定义：可微函数f:ℝ→ℝ是否必局部凸或凹？

答案是否定的——存在可微但既不局部凸也不局部凹的函数，我们用一个经典的反例就能把这个问题讲清楚。

先再明确下定义：

函数$f:\Bbb R\to\Bbb R$在点$x$处局部凸，当且仅当存在$x$的一个邻域，使得$f$在该邻域内是凸函数；局部凹则是存在邻域使得$f$在其中为凹函数。

对可微函数来说，凸函数的导数是非减的，凹函数的导数是非增的。如果一个函数在某点附近既做不到导数非减，也做不到非增，那它就既不局部凸也不局部凹。

反例构造 #

考虑如下分段函数：

f(x) = 
{ x² sin(1/x),  当 x ≠ 0
{ 0,            当 x = 0

第一步：证明$f$是可微函数

• 当$x≠0$时，直接求导可得：$f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)$，显然存在且连续；
• 当$x=0$时，用导数的定义计算：
  $$f'(0) = \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to0}h\sin(1/h) = 0$$
  （$\sin(1/h)$是有界函数，乘以趋近于0的$h$后极限为0）

所以$f(x)$在整个实数域$\Bbb R$上处处可微。

第二步：证明$f$既不局部凸也不局部凹

观察$f'(x)$的行为：当$x$趋近于0时，$\cos(1/x)$会在$-1$到$1$之间无限振荡，这导致$f'(x)$在0的任意小邻域内都会忽大忽小——不存在一个邻域能让$f'(x)$保持非减或非增的状态。

举个具体的例子：取$x_n = \frac{1}{2n\pi}$，此时$\cos(1/x_n)=\cos(2n\pi)=1$，所以$f'(x_n)=2x_n\sin(2n\pi)-1=-1$；再取$x_{n+1}=\frac{1}{(2n+1)\pi}$，此时$\cos(1/x_{n+1})=\cos((2n+1)\pi)=-1$，$f'(x_{n+1})=2x_{n+1}\sin((2n+1)\pi)-(-1)=1$。

这两个点$x_n$和$x_{n+1}$可以无限趋近于0，意味着在0的任何邻域里，我们都能找到$f'(x)$递增和递减的区间，因此$f(x)$在0点附近既不是凸函数也不是凹函数。

如果看二阶导数（$x≠0$时）：
$$f''(x)=2\sin(1/x)-\frac{2}{x}\cos(1/x)+\frac{1}{x^2}\sin(1/x)$$
当$x$趋近于0时，这个式子会在正负无穷之间振荡，说明$f(x)$在0附近会交替出现凸和凹的弧段，完全无法保持局部的凸性或凹性。

结论 #

这个例子清晰地说明：可微函数不一定是局部凸或局部凹的，只要导数的单调性无法在某点的任意邻域内保持一致，就会出现这种情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SKumar