标准剖分的极限：含ε序列收敛性判定与极限求解

咱们先从实数范围的情况入手，一步步拆解这个极限问题——你已经把原式改写为：
$$\lim_{k\to \infty}{(1+\frac{k\epsilon}{j})^{j(1-\frac{k\epsilon}{k-j})}{k-j}}$$
首先得明确：要保证表达式有意义，需满足$\frac{1}{k}-\frac{\epsilon}{k-j}>0$（即底数为正），对足够大的k来说，这个条件等价于$\epsilon < \frac{k-j}{k}$，当$k\to\infty$时，$\frac{k-j}{k}\to1$，所以先分情况讨论$\epsilon$的取值：

1. 当$\boldsymbol{0 < \epsilon < 1}$时 #

此时对足够大的k，$\frac{1}{k}-\frac{\epsilon}{k-j}>0$，表达式为正实数。我们对整个式子取对数（把乘积转化为和，更容易处理无穷项）：
$$\ln A_k = j\ln\left(1+\frac{k\epsilon}{j}\right) + (k-j)\ln\left(1-\frac{k\epsilon}{k-j}\right)$$

展开分析两项的渐近行为：

• 第一项：$j\ln\left(1+\frac{k\epsilon}{j}\right) \sim j\ln\left(\frac{k\epsilon}{j}\right) = j\ln k + j\ln(\epsilon/j)$，是O(lnk)级别的正无穷大；
• 第二项：$(k-j)\ln\left(1-\frac{k\epsilon}{k-j}\right) = (k-j)\ln\left(\frac{k(1-\epsilon)-j}{k-j}\right)$，进一步展开后，主导项是$(k-j)\ln(1-\epsilon)$，因为$\ln(1-\epsilon)<0$，这是O(k)级别的负无穷大。

由于O(k)的主导项远超过O(lnk)的项，因此$\ln A_k \to -\infty$，最终$\boldsymbol{A_k \to 0}$。

2. 当$\boldsymbol{\epsilon = 1}$时 #

此时$\frac{1}{k}-\frac{1}{k-j} = -\frac{j}{k(k-j)} < 0$，表达式的第二项会因$k-j$的奇偶性出现正负交替：

• 若$k-j$为偶数，该项为正；若为奇数，该项为负，数列符号振荡。
• 计算绝对值的对数：$\ln|A_k| = (2j -k)\ln k + j + o(1)$，当$k\to\infty$时，$(2j -k)\ln k \to -\infty$，因此$|A_k|\to0$，但整体数列极限不存在（若$k-j$的奇偶性固定，则极限为0）。

3. 当$\boldsymbol{\epsilon > 1}$时 #

对足够大的k，$\frac{1}{k}-\frac{\epsilon}{k-j} < 0$，同样存在符号交替问题，但绝对值的趋势很明确：

• 第一项$\left(1+\frac{k\epsilon}{j}\right)^j$是$kj$级别的无穷大；
• 第二项的绝对值$\left|\frac{1}{k}-\frac{\epsilon}{k-j}\right|^{k-j} \approx \left(\frac{\epsilon}{1-j/k}\right)^{k-j} \to \epsilon^\infty = \infty$（因为$\epsilon>1$，指数$k-j\to\infty$）。

两者相乘后绝对值趋向无穷大，因此数列发散到无穷（若符号固定则发散到+∞或-∞，否则振荡发散）。

补充：若$\boldsymbol{j}$随$\boldsymbol{k}$同阶变化（比如$\boldsymbol{j=tk, t\in(0,1)}$） #

此时原式可改写为：
$$A_k = \left(1+\frac{\epsilon}{t}\right)^{tk} \left(1-\frac{\epsilon}{1-t}\right)^{(1-t)k}$$
取对数得：
$$\ln A_k = k\left[t\ln\left(1+\frac{\epsilon}{t}\right)+(1-t)\ln\left(1-\frac{\epsilon}{1-t}\right)\right]$$
令$C(t,\epsilon)=t\ln\left(1+\frac{\epsilon}{t}\right)+(1-t)\ln\left(1-\frac{\epsilon}{1-t}\right)$，可证$C(t,\epsilon)$关于$\epsilon$严格递减：

• 当$\epsilon <1-t$时，$C(t,\epsilon)<0$，$\ln A_k\to-\infty$，$A_k\to0$；
• 当$\epsilon=1-t$时，第二项底数为0，整体是∞*0型，极限为0；
• 当$\epsilon>1-t$时，第二项底数为负，绝对值趋向无穷大，数列发散。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者quallenjäger