关于L^p(X)预紧集的Riesz-Kolmogorov推广条件的证明求助
没问题，我来帮你梳理这个**Lp(X)版本的Riesz-Kolmogorov-Frechet预紧性定理**的证明思路——核心就是借助零延拓把它和我们熟悉的Lp(ℝⁿ)版本定理关联起来，一步步拆解就很清晰了～
假设A是L^p(X)中的预紧集，我们逐个验证三个条件：
条件1：有界性
泛函分析里的基本结论：赋范空间中的预紧集闭包是紧集，而紧集必然有界。所以A中所有函数的L^p范数的上确界肯定是有限的，也就是$\sup_{f\in A} ||f||_{L^p(X)} < \infty$。条件2：平移一致连续性
先把A中每个函数$f$零延拓到ℝⁿ上得到$\overline{f}$，记$\overline{A} = {\overline{f} \mid f \in A}$。
因为A预紧，对任意$\varepsilon>0$，存在有限个函数$f_1,f_2,\dots,f_k \in A$，构成A的$\varepsilon/3$-网——也就是说A中任意$f$都能找到某个$f_i$，使得$||f - f_i||{L^p(X)} < \varepsilon/3$。
对于每个固定的$f_i$，L^p(ℝⁿ)上的平移算子是连续的，所以当$|h|$足够小时，$||\overline{f_i}(\cdot+h) - \overline{f_i}||{L^p(ℝⁿ)} < \varepsilon/3$。
现在用三角不等式估计任意$\overline{f}$的平移范数：
$$
||\overline{f}(\cdot+h) - \overline{f}||{L^p(X \cup (X-h))} = ||\overline{f}(\cdot+h) - \overline{f}||{L^p(ℝⁿ)} \
\leq ||\overline{f} - \overline{f_i}||{L^p(ℝⁿ)} + ||\overline{f_i}(\cdot+h) - \overline{f_i}||{L^p(ℝⁿ)} + ||\overline{f_i}(\cdot+h) - \overline{f}(\cdot+h)||{L^p(ℝⁿ)}
$$
其中第一项和第三项都等于$||f - f_i||{L^p(X)} < \varepsilon/3$，加起来就小于$\varepsilon$。这就说明当$|h|\to0$时，这个上确界趋于0，满足条件2。条件3：紧支集一致逼近
同样利用A的有限网：对任意$\varepsilon>0$，取有限个$f_1,\dots,f_k$作为$\varepsilon/2$-网。每个$f_i \in Lp(X)$，所以当$R$足够大时，$||f_i||_{Lp(X \setminus B_R(0))} < \varepsilon/2$。
对A中任意$f$，找到对应的$f_i$，则：
$$
||f||{L^p(X \setminus B_R(0))} \leq ||f - f_i||{L^p(X \setminus B_R(0))} + ||f_i||{L^p(X \setminus B_R(0))} < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon
$$
因此$\sup{f\in A} ||f||_{L^p(X \setminus B_R(0))} \to 0$当$R\to\infty$，条件3得证。
我们的目标是证明A在Lp(X)中预紧，关键步骤是把A通过零延拓映射到Lp(ℝⁿ)中，利用L^p(ℝⁿ)的Kolmogorov定理来推导。
验证零延拓后的集合$\overline{A}$在L^p(ℝⁿ)中预紧
回忆L^p(ℝⁿ)的Riesz-Kolmogorov-Frechet定理：集合预紧当且仅当满足有界性、平移一致连续性、紧支集一致逼近三个条件。现在看$\overline{A}$：- 有界性：$||\overline{f}||{L^p(ℝⁿ)} = ||f||{L^p(X)}$，由条件1直接得$\sup_{\overline{f}\in\overline{A}} ||\overline{f}||_{L^p(ℝⁿ)} < \infty$；
- 平移一致连续性：条件2直接给出$\sup_{\overline{f}\in\overline{A}} ||\overline{f}(\cdot+h) - \overline{f}||_{L^p(ℝⁿ)} \to 0$（因为$X \cup (X-h)$之外都是0，范数等价）；
- 紧支集一致逼近：条件3给出$\sup_{\overline{f}\in\overline{A}} ||\overline{f}||{L^p(ℝⁿ \setminus B_R(0))} = \sup{f\in A} ||f||_{L^p(X \setminus B_R(0))} \to 0$当$R\to\infty$。
所以$\overline{A}$在L^p(ℝⁿ)中预紧。
导出A在L^p(X)中预紧
任取A中的序列${f_n}$，对应的零延拓序列${\overline{f_n}}$在L^p(ℝⁿ)中有收敛子列${\overline{f_{n_k}}}$，设其收敛到$g \in L^p(ℝⁿ)$。
把$g$限制在X上得到$g|X \in L^p(X)$，此时：
$$
||f{n_k} - g|X||{L^p(X)} = ||\overline{f_{n_k}} - \overline{g|X}||{L^p(ℝⁿ)} \leq ||\overline{f_{n_k}} - g||{L^p(ℝⁿ)} \to 0
$$
这说明${f{n_k}}$在L^p(X)中收敛，因此A是预紧集。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Uralmok
