关于i.i.d随机变量和的四次方期望计算错误的疑问

首先，你的核心错误在于混淆了离散Rademacher变量（取±1各1/2）和标准正态变量的矩结构——虽然这两种变量的均值都是0、方差都是1，但它们的高阶矩完全不同，不能直接套用正态分布的矩公式来计算离散变量和的矩。

为什么你的正态变量计算得到48？ #

对于均值为0、方差为(\sigma^2)的正态变量，其四阶矩公式是 (3(\sigma²⁾2)。你把 (X_1+X_2+X_3+X_4) 当成均值0、方差4的正态变量，代入得到 (3*(4)^2=48)，这个计算对于正态变量是对的，但不适用于你题目中的离散变量。

正确计算过程（针对Rademacher变量） #

我们可以通过两种方式计算 (E[(X_1+X_2+X_3+X_4)^4])：

方法1：展开多项式并计算期望

令 (S = X_1+X_2+X_3+X_4)，根据多项式展开：
[
S^4 = \sum_{i=1}^4 X_i^4 + 4\sum_{i\neq j}X_i^3X_j + 6\sum_{i<j}X_i^2X_j2 + 12\sum_{i,j,k\text{ distinct}}X_i^2X_jX_k + 24X_1X_2X_3X_4
]
利用Rademacher变量的矩性质：

• (E[X_i] = 0)，(E[X_i^2] = 1)，(E[X_i^3] = E[X_i] = 0)，(E[X_i^4] = 1)
• 独立变量的期望可拆分：(E[X_a^mX_bn] = E[X_a^m]E[X_bn])

逐项计算期望：

1. 单个变量四次方项：(\sum_{i=1}^4 E[X_i^4] = 4*1 = 4)
2. 三次方+一次方项：所有 (E[X_i^3X_j] = E[X_i^3]E[X_j] = 0*0 = 0)，总和为0
3. 两个变量平方项：(6\sum_{i<j}E[X_i^2X_j2] = 661 = 36)（共(\binom{4}{2}=6)对，每对期望为1）
4. 平方+两个一次方项：所有 (E[X_i^2X_jX_k] = E[X_i^2]E[X_j]E[X_k] = 100 = 0)，总和为0
5. 四个变量一次方项：(E[X_1X_2X_3X_4] = E[X_1]E[X_2]E[X_3]E[X_4] = 0)，总和为0

将所有项相加：(4 + 36 = 40)

方法2：直接枚举所有可能取值计算

(S) 的可能取值为-4、-2、0、2、4，对应的概率：

• (P(S=\pm4) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16})
• (P(S=\pm2) = \binom{4}{3}(\frac{1}{2})^4 = \frac{4}{16})
• (P(S=0) = \binom{4}{2}(\frac{1}{2})^4 = \frac{6}{16})

计算期望：
[
E[S^4] = (4^4 + (-4)^4)\frac{1}{16} + (2^4 + (-2)^4)\frac{4}{16} + 0^4*\frac{6}{16}
]
[
= (256+256)\frac{1}{16} + (16+16)\frac{4}{16} = 32 + 8 = 40
]

总结 #

你得到48是因为误用了正态分布的矩公式，而题目中的变量是离散的Rademacher变量，其和的四阶矩实际为40（你提到的76可能是记错了正确答案）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ram ram