用极限定义证明：limₓ→0 f(x)=L ⇔ limₓ→0 [f(x)-L]=0

咱直接从极限的严格定义出发拆解这个等价关系，分两个方向来证：必要性（$\Rightarrow$）和充分性（$\Leftarrow$），逻辑会更清楚。先把定义明确一下：

对于函数$g(x)$，$\lim_{x \to 0} g(x) = M$的定义是：对任意给定的$\epsilon > 0$，总能找到一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x| < \delta$时，$|g(x) - M| < \epsilon$。

必要性：若 $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=L$，则 $\lim_{x \rightarrow 0}[f(x)-L]=0$ #

假设$\lim_{x \to 0} f(x)=L$，根据上面的极限定义，对任意$\epsilon > 0$，一定存在某个$\delta > 0$，当$0 < |x| < \delta$时，$|f(x) - L| < \epsilon$。

而我们要证的是$\lim_{x \to 0}[f(x)-L]=0$，代入定义的话，就是要证明：对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$0 < |x| < \delta$时，$|[f(x)-L] - 0| < \epsilon$。

你看，$|[f(x)-L] - 0|$其实就是$|f(x)-L|$，和前面的条件完全一致！所以刚才找到的那个$\delta$直接就能用，完全满足$\lim_{x \to 0}[f(x)-L]=0$的定义。这一步就搞定了。

充分性：若 $\lim_{x \rightarrow 0}[f(x)-L]=0$，则 $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=L$ #

反过来，假设$\lim_{x \to 0}[f(x)-L]=0$，根据定义，对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$0 < |x| < \delta$时，$|[f(x)-L] - 0| < \epsilon$。

同样的，这个式子化简后就是$|f(x)-L| < \epsilon$，而这恰好就是$\lim_{x \to 0}f(x)=L$的定义要求的条件——对同一个$\epsilon$，同一个$\delta$依然有效。所以这一步也成立。

总结 #

这个等价关系本质上就是极限定义的“平移性质”：把函数$f(x)$向下平移$L$个单位得到$f(x)-L$，它在$x \to 0$时的极限就从$L$变成了$0$，反过来也成立。整个证明完全是极限定义的直接套用，核心就是抓住$|(f(x)-L)-0|$和$|f(x)-L|$是同一个表达式这一点，没有复杂的技巧。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cody S