$\mathbb{N}$上的非齐次简单随机游走：赌徒破产与终止概率问询

嘿，这个问题是经典赌徒破产问题的变种（加入了平局的可能性），我来一步步拆解给你看，结论是必然有 $\mathbb{P}(T<\infty)=1$——也就是游戏几乎一定会在有限步内结束。

首先先明确下问题里的停时$T$：这里应该是指赌徒首次破产（财富变0）或者赢光赌场（财富变$a+b$）的时间，也就是$T = \inf{n \geq 0 : X_n = 0 \text{ 或 } X_n = a+b}$，这是这类问题的标准设定，先补全定义方便分析。

核心推导：分两种情况讨论 #

我们定义$v(x) = \mathbb{P}(T < \infty \mid X_0 = x)$，其中$x$是赌徒的初始财富（范围是$0 \leq x \leq a+b$）。显然边界条件是：

• 当$x=0$或$x=a+b$时，游戏已经结束，所以$v(0)=1$，$v(a+b)=1$。

情况1：$p \neq q$

对于中间的$x$（$1 \leq x \leq a+b-1$），每一步有三种可能：赢1（概率$p$）、输1（概率$q$）、平局（概率$r$），所以递推关系是：
$$v(x) = p \cdot v(x+1) + q \cdot v(x-1) + r \cdot v(x)$$
把含$v(x)$的项移到左边整理（因为$p+q=1-r>0$，题目里$r<1$，所以可以两边除以$p+q$）：
$$v(x+1) - v(x) = \frac{q}{p}(v(x) - v(x-1))$$

这是个线性递推，通解是$v(x) = A + B\left(\frac{q}{p}\right)^x$。代入边界条件：

• $v(0) = A + B = 1$
• $v(a+b) = A + B\left(\frac{q}{p}\right)^{a+b} = 1$

联立这两个方程，只有$B=0$、$A=1$时成立，所以$v(x)=1$对所有$x$都成立——不管初始财富是多少，游戏几乎必然在有限步内结束。

情况2：$p = q$

当$p=q$时，递推关系简化为：
$$v(x+1) - 2v(x) + v(x-1) = 0$$
通解是线性形式$v(x) = A + Bx$。代入边界条件：

• $v(0) = A = 1$
• $v(a+b) = A + B(a+b) = 1$

解得$B=0$，同样得到$v(x)=1$，结论和情况1一致。

为什么平局不影响结果？ #

虽然题目里允许每局平局（$r>0$），但因为$r<1$，所以每局都有正概率（$p+q>0$）让财富发生变化。这种带平局的随机游走，本质上等价于“跳过所有平局步骤”的普通随机游走——而整数格点上的普通随机游走（不管对称还是不对称），在有限边界下都是常返的，必然会在有限步内碰到0或$a+b$这两个边界。

总结一下：只要$r<1$（也就是游戏有正概率产生财富变化），不管$p$和$q$的大小如何，都有$\mathbb{P}(T<\infty)=1$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elias Costa