马尔可夫链周期性GCD疑问：暂态集周期及状态返回步长问题

一、状态集{b,c,d,e,f}为何是周期为2的暂态集？ #

咱们先把两个核心概念掰明白：状态周期和暂态，分开来看就清楚了：

1. 周期为2的原因：
   状态i的周期d(i)，是所有能让i返回自身的步长n（也就是满足P^n(i,i) > 0的n）的最大公约数（GCD）。你观察到从b出发，能通过4步（b→c→d→b）和6步（b→c→d→f→d→b）返回，这两个步长的GCD确实是2。而且你可以再验证下：从b出发，有没有可能用奇数步回到b？不管怎么绕，所有能回到b的路径步长都是偶数，那所有返回步长的GCD就是2，所以b的周期是2。
   要是{b,c,d,e,f}属于同一个通信类（就是任意两个状态之间能互相到达），那这个类里所有状态的周期都是2——因为同一个通信类里的状态周期肯定是一样的。
2. 暂态集的原因：
   暂态的核心是：这些状态最终会“跑出去”，再也回不来。比如假设这个集合里的某个状态（比如e）能转移到集合外的一个常返态（比如你后面提到的j），但j没法回到e，那整个{b,c,d,e,f}都是暂态——因为从这些状态出发，总有概率走到那个常返态，之后就再也回不到这个集合里了。说白了就是这个集合不是“封闭”的，有向外的转移通道，所以是暂态集。

二、状态j、k、l的周期为何是1？ #

你完全说对了！状态j的返回步长可以是2的倍数和3的倍数（比如假设从j出发，2步能回来，3步也能回来），而2和3的GCD是1，按周期的定义，d(j)=1，也就是j是非周期状态。
另外，马尔可夫链里同一个通信类的状态周期必然相同，如果k、l和j属于同一个通信类（比如k能到j，j也能到k），那d(k)=d(l)=d(j)=1，它们全都是非周期的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者conums