排列组合路径问题求助：从A到B的7步北/东向路径计数

嘿，别慌！完全没接触过排列组合也没关系，咱们从最直观的角度一点点拆解这道题～

首先得明确一个核心逻辑：你只能向东（E）或向北（N）走，而且恰好走7个街区，这意味着从A到B需要的向东步数 + 向北步数 = 7。假设从A到B要向东走e个街区，向北走n个街区，那必然满足e + n = 7。

每一条路径，其实就是把e个“向东”和n个“向北”这7个动作排成一串——比如向东3步、向北4步的话，一条路径可能是E, E, N, N, E, N, N。不同的排列方式，对应不同的路径。

那怎么算有多少种排列方式呢？这其实就是「组合数」的问题：从7个动作位置里，挑出e个位置放“向东”（剩下的位置自然放“向北”），所有的挑法数就是路径总数。组合数的写法是C(7, e)（也可以写成C(7, n)，因为挑e个放向东，和挑n个放向北是一回事）。

组合数的计算方式也很简单：

C(n, k) = n! / (k! × (n - k)!)

这里的!是阶乘，比如5! = 5×4×3×2×1，0! = 1（这是规定，不用纠结为什么）。

举个具体例子：如果B在A东边3个街区、北边4个街区的位置，那路径数就是C(7, 3)：

C(7,3) = 7!/(3!×4!) = (7×6×5)/(3×2×1) = 35

也就是总共有35条不同的路径。

这时候我们可以把路径拆成两段来算：从A走到C，再从C走到B，然后用乘法原理——把两段的路径数相乘，就是必须经过C的总路径数。

具体步骤是：

• 先算从A到C的路径数：假设A到C需要向东e1步、向北n1步，总步数s1 = e1 + n1，那路径数是C(s1, e1)（和问题a的算法完全一样）。
• 再算从C到B的路径数：假设C到B需要向东e2步、向北n2步，总步数s2 = e2 + n2，路径数是C(s2, e2)。
• 最后把两个数相乘，C(s1,e1) × C(s2,e2)就是答案。

还是举例子：如果A到C要向东2步、向北2步（总4步），C到B要向东1步、向北2步（总3步），那：

• A到C的路径数：C(4,2) = 4!/(2!×2!) = (4×3)/(2×1) = 6
• C到B的路径数：C(3,1) = 3!/(1!×2!) = 3
• 总路径数：6×3 = 18

这样就得到了必须经过C的所有路径数啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Caecilius est in horto